Bài tập nâng cao · Bài 174
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 174
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \left[ -1;1 \right] $ thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )-1=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { x+e ^ { t } } \right )f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $. Tích phân $ I=\int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Từ $ f\left ( { x } \right )-1=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { x+e ^ { t } } \right )f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }\Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=x\int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }+\int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }+1 $, do đó $ f\left ( { x } \right )=ax+b $.
Suy ra $ ax+b=x\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t }+\int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t }+1 $. $ \left ( { * } \right ) $
+ Tính $ x\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t }=x\left | { \left ( { \frac { at ^ { 2 } } { 2 }+bt } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }=2bx $.
+ Tính $ \int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=at+b \\ { \rm{ d } }v=e ^ { t } { \rm{ d } }t \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=a{ \rm{ d } }t \\ v=e ^ { t } \end{array} \right. $.
Do đó $ \int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t }=\left | { e ^ { t } \left ( { at+b } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }-a\int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } { \rm{ d } }t }=\left | { e ^ { t } \left ( { at+b-a } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }=be-\frac { 1 } { e }\left ( { -2a+b } \right ) $. $ \left ( { ** } \right ) $
Thay vào $ \left ( { * } \right ) $ ta được $ ax+b=2bx+be-\frac { 1 } { e }\left ( { -2a+b } \right )+1 $.
Đồng nhất thức ta được $ a=2b $ và $ b=be+\frac { 3b } { e }+1\Leftrightarrow b\left ( { 1-e-\frac { 3 } { e } } \right )=1\Leftrightarrow b=\frac { e } { e-e ^ { 2 } -3 } $.
Thay vào $ \left ( { ** } \right ) $ ta có $ I=be-\frac { 1 } { e }\left ( { -2a+b } \right )=\frac { e } { e-e ^ { 2 } -3 }\cdot e+\frac { 1 } { e }\cdot \frac { 3e } { e-e ^ { 2 } -3 }=\frac { e ^ { 2 } +3 } { -e ^ { 2 } +e-3 } $.
Suy ra $ ax+b=x\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t }+\int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t }+1 $. $ \left ( { * } \right ) $
+ Tính $ x\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t }=x\left | { \left ( { \frac { at ^ { 2 } } { 2 }+bt } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }=2bx $.
+ Tính $ \int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=at+b \\ { \rm{ d } }v=e ^ { t } { \rm{ d } }t \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=a{ \rm{ d } }t \\ v=e ^ { t } \end{array} \right. $.
Do đó $ \int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } \left ( { at+b } \right ){ \rm{ d } }t }=\left | { e ^ { t } \left ( { at+b } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }-a\int _{ -1 }^{ 1 } { e ^ { t } { \rm{ d } }t }=\left | { e ^ { t } \left ( { at+b-a } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 1 }=be-\frac { 1 } { e }\left ( { -2a+b } \right ) $. $ \left ( { ** } \right ) $
Thay vào $ \left ( { * } \right ) $ ta được $ ax+b=2bx+be-\frac { 1 } { e }\left ( { -2a+b } \right )+1 $.
Đồng nhất thức ta được $ a=2b $ và $ b=be+\frac { 3b } { e }+1\Leftrightarrow b\left ( { 1-e-\frac { 3 } { e } } \right )=1\Leftrightarrow b=\frac { e } { e-e ^ { 2 } -3 } $.
Thay vào $ \left ( { ** } \right ) $ ta có $ I=be-\frac { 1 } { e }\left ( { -2a+b } \right )=\frac { e } { e-e ^ { 2 } -3 }\cdot e+\frac { 1 } { e }\cdot \frac { 3e } { e-e ^ { 2 } -3 }=\frac { e ^ { 2 } +3 } { -e ^ { 2 } +e-3 } $.