Bài tập nâng cao · Bài 173
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 173
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ thỏa mãn: $ x ^ { 2 } .f'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=2x ^ { 3 } +x ^ { 2 } $, $ ∀x>0 $. Biết rằng $ f\left ( { 1 } \right )=0 $. Tính giá trị của $ f\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
Chia hai vế cho $x^2$ và dùng nhân tử tích phân $e^{-1/x}$: $e^{-1/x}f'(x)+\frac1{x^2}e^{-1/x}f(x)=(2x+1)e^{-1/x}$.
$ \Rightarrow \left | { \left ( { { \rm{ e } } ^ { \frac { -1 } { x } } .f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ \frac { 1 } { 2 } } ^{ 1 }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \left ( { 2x+1 } \right ).{ \rm{ e } } ^ { \frac { -1 } { x } } { \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ -1 } { \left ( { \frac { -2 } { x ^ { 3 } }+\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right ).{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x }=I $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u={ \rm{ e } } ^ { x } \Rightarrow { \rm{ d } }u={ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x \\ { \rm{ d } }v=\left ( { \frac { -2 } { x ^ { 3 } }+\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right ){ \rm{ d } }x,\,v=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }-\frac { 1 } { x } \\ \end{array} \end{array} \right. $, khi đó: $ I=\left ( { \frac { 2 } { { \rm{ e } } }-\frac { 3 } { 4{ \rm{ e } } ^ { 2 } } } \right )+\int _{ -2 }^{ -1 } { \frac { 1 } { x }.{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x }-\int _{ -2 }^{ -1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } }.{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } $.
Đặt $ I'=\int _{ -2 }^{ -1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } }.{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } $, đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u={ \rm{ e } } ^ { x } \Rightarrow { \rm{ d } }u={ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x \\ { \rm{ d } }v=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x,\,v=\frac { -1 } { x } \\ \end{array} \end{array} \right. $, khi đó: $ I'=\frac { 1 } { { \rm{ e } } }-\frac { 1 } { 2{ \rm{ e } } ^ { 2 } }+\int _{ -2 }^{ -1 } { \frac { 1 } { x }.{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } $.
Suy ra: $ I=\frac { 1 } { { \rm{ e } } }-\frac { 1 } { 4{ \rm{ e } } ^ { 2 } }=\left | { \left ( { { \rm{ e } } ^ { \frac { -1 } { x } } .f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ \frac { 1 } { 2 } } ^{ 1 }=\frac { -1 } { { \rm{ e } } ^ { 2 } }.f\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )\Leftrightarrow f\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )=\frac { 1 } { 4 }-{ \rm{ e } } $
$ \Rightarrow \left | { \left ( { { \rm{ e } } ^ { \frac { -1 } { x } } .f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ \frac { 1 } { 2 } } ^{ 1 }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \left ( { 2x+1 } \right ).{ \rm{ e } } ^ { \frac { -1 } { x } } { \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ -1 } { \left ( { \frac { -2 } { x ^ { 3 } }+\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right ).{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x }=I $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u={ \rm{ e } } ^ { x } \Rightarrow { \rm{ d } }u={ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x \\ { \rm{ d } }v=\left ( { \frac { -2 } { x ^ { 3 } }+\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right ){ \rm{ d } }x,\,v=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }-\frac { 1 } { x } \\ \end{array} \end{array} \right. $, khi đó: $ I=\left ( { \frac { 2 } { { \rm{ e } } }-\frac { 3 } { 4{ \rm{ e } } ^ { 2 } } } \right )+\int _{ -2 }^{ -1 } { \frac { 1 } { x }.{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x }-\int _{ -2 }^{ -1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } }.{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } $.
Đặt $ I'=\int _{ -2 }^{ -1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } }.{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } $, đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u={ \rm{ e } } ^ { x } \Rightarrow { \rm{ d } }u={ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x \\ { \rm{ d } }v=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x,\,v=\frac { -1 } { x } \\ \end{array} \end{array} \right. $, khi đó: $ I'=\frac { 1 } { { \rm{ e } } }-\frac { 1 } { 2{ \rm{ e } } ^ { 2 } }+\int _{ -2 }^{ -1 } { \frac { 1 } { x }.{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } $.
Suy ra: $ I=\frac { 1 } { { \rm{ e } } }-\frac { 1 } { 4{ \rm{ e } } ^ { 2 } }=\left | { \left ( { { \rm{ e } } ^ { \frac { -1 } { x } } .f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ \frac { 1 } { 2 } } ^{ 1 }=\frac { -1 } { { \rm{ e } } ^ { 2 } }.f\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )\Leftrightarrow f\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right )=\frac { 1 } { 4 }-{ \rm{ e } } $