Bài tập nâng cao · Bài 172
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 172
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;2 \right] $. Biết $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ và $ f\left ( { x } \right )f\left ( { 2-x } \right )=e ^ { 2x ^ { 2 } -4x } $ với mọi $ x\in \left[ 0;2 \right] $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } } \right )f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }dx } $.
Xem lời giải
Lời giải
Theo giả thiết, ta có $ f\left ( { x } \right ).f\left ( { 2-x } \right )=e ^ { 2x ^ { 2 } -4x } $ và $ f\left ( { x } \right ) $ nhận giá trị dương nên $ ln\left[ f\left ( { x } \right ).f\left ( { 2-x } \right ) \right]=lne ^ { 2x ^ { 2 } -4x } \Leftrightarrow lnf\left ( { x } \right )+lnf\left ( { 2-x } \right )=2x ^ { 2 } -4x $.
Mặt khác, với $ x=0 $, ta có: $ f\left ( { 0 } \right ).f\left ( { 2 } \right )=1 $ và $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ nên $ f\left ( { 2 } \right )=1 $
Xét $ I\,=\,\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } \,-\,3x ^ { 2 } } \right )f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } $, ta có $ I\,=\,\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } \,-\,3x ^ { 2 } } \right )\frac { f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } \\ { \rm{ d } }v=\frac { f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\left ( { 3x ^ { 2 } -6x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=lnf\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
Suy ra $ I=\left | { \left[ \left ( { x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } } \right )lnf\left ( { x } \right ) \right] } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\,\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } \,-\,6x } \right )lnf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\,-\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } \,-\,6x } \right )lnf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ (1).
Đổi biến $ x=2-t\Rightarrow dx=-dt $. Khi $ x=0\Rightarrow t=2 $ và $ x=2\Rightarrow t=0 $
Khi đó:
$ I\,=\,-\int _{ 2 }^{ 0 } { \left ( { 3t ^ { 2 } -6t } \right )lnf\left ( { 2-t } \right )\left ( { -{ \rm{ d } }t } \right ) } =\,-\,\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3t ^ { 2 } -6t } \right )lnf\left ( { 2-t } \right ){ \rm{ d } }t } =\,-\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } -6x } \right )lnf\left ( { 2-x } \right ){ \rm{ d } }x } $ (2).
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ ta cộng vế theo vế, ta được $ 2I=\,-\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } \,-\,6x } \right )\left[ lnf\left ( { x } \right )\,+\,lnf\left ( { 2\,-\,x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } $
Hay$ I=-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } \,-\,6x } \right )\left ( { 2x ^ { 2 } \,-\,4x } \right ){ \rm{ d } }x } =\,-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 6x ^ { 4 } \,-\,24x ^ { 3 } \,-\,24x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x } =\,-\frac { 1 } { 2 }\left | { \left ( { \frac { 6 } { 5 }x ^ { 5 } \,-\,6x ^ { 4 } \,-\,8x ^ { 3 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }\,=\,-\frac { 16 } { 5 } $.
Mặt khác, với $ x=0 $, ta có: $ f\left ( { 0 } \right ).f\left ( { 2 } \right )=1 $ và $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ nên $ f\left ( { 2 } \right )=1 $
Xét $ I\,=\,\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x ^ { 2 } \,-\,3x ^ { 2 } } \right )f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } $, ta có $ I\,=\,\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } \,-\,3x ^ { 2 } } \right )\frac { f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } \\ { \rm{ d } }v=\frac { f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\left ( { 3x ^ { 2 } -6x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=lnf\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
Suy ra $ I=\left | { \left[ \left ( { x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } } \right )lnf\left ( { x } \right ) \right] } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\,\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } \,-\,6x } \right )lnf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\,-\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } \,-\,6x } \right )lnf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ (1).
Đổi biến $ x=2-t\Rightarrow dx=-dt $. Khi $ x=0\Rightarrow t=2 $ và $ x=2\Rightarrow t=0 $
Khi đó:
$ I\,=\,-\int _{ 2 }^{ 0 } { \left ( { 3t ^ { 2 } -6t } \right )lnf\left ( { 2-t } \right )\left ( { -{ \rm{ d } }t } \right ) } =\,-\,\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3t ^ { 2 } -6t } \right )lnf\left ( { 2-t } \right ){ \rm{ d } }t } =\,-\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } -6x } \right )lnf\left ( { 2-x } \right ){ \rm{ d } }x } $ (2).
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ ta cộng vế theo vế, ta được $ 2I=\,-\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } \,-\,6x } \right )\left[ lnf\left ( { x } \right )\,+\,lnf\left ( { 2\,-\,x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } $
Hay$ I=-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 3x ^ { 2 } \,-\,6x } \right )\left ( { 2x ^ { 2 } \,-\,4x } \right ){ \rm{ d } }x } =\,-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { 6x ^ { 4 } \,-\,24x ^ { 3 } \,-\,24x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x } =\,-\frac { 1 } { 2 }\left | { \left ( { \frac { 6 } { 5 }x ^ { 5 } \,-\,6x ^ { 4 } \,-\,8x ^ { 3 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }\,=\,-\frac { 16 } { 5 } $.