Bài tập nâng cao · Bài 171
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 171
Cho hàm số $ f(x) $ xác định có đạo hàm liên tục trê $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ f(0)=3 $ và $ f(x)+f(2-x)=x ^ { 2 } -2x+2,∀x\in \mathbb{R}. $ Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 2 } { xf'(x)dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ f(x)+f(2-x)=x ^ { 2 } -2x+2,∀x\in \mathbb{R}.\Rightarrow f(0)+f(2)=2\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1 $
Ta lại có $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f(x)+f(2-x) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } -2x+2 } \right ){ \rm{ d } }x= }\frac { 8 } { 3 }. $
Mà $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f(x)+f(2-x) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x)dx+\int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x)dx } } $
Xét$ \int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x)d{ \rm{ x } } } $
Đặt $ t=2-x\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x)dx }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(t){ \rm{ d } }t }\Rightarrow I=2\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x){ \rm{ d } }x }=\frac { 8 } { 3 }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f(x){ \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 3 } $
Xét $ \int _{ 0 }^{ 2 } { xf'(x)dx }=xf(x)\left | { _{ 0 } ^{ 2 } } \right .-\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x)dx= }2f(2)-\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x)dx= }=-2-\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x)dx }=-2-\frac { 4 } { 3 }=-\frac { 10 } { 3 } $
$ f(x)+f(2-x)=x ^ { 2 } -2x+2,∀x\in \mathbb{R}.\Rightarrow f(0)+f(2)=2\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1 $
Ta lại có $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f(x)+f(2-x) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } -2x+2 } \right ){ \rm{ d } }x= }\frac { 8 } { 3 }. $
Mà $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f(x)+f(2-x) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x)dx+\int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x)dx } } $
Xét$ \int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x)d{ \rm{ x } } } $
Đặt $ t=2-x\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f(2-x)dx }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f(t){ \rm{ d } }t }\Rightarrow I=2\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x){ \rm{ d } }x }=\frac { 8 } { 3 }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f(x){ \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 3 } $
Xét $ \int _{ 0 }^{ 2 } { xf'(x)dx }=xf(x)\left | { _{ 0 } ^{ 2 } } \right .-\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x)dx= }2f(2)-\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x)dx= }=-2-\int _{ 0 }^{ 2 } { f(x)dx }=-2-\frac { 4 } { 3 }=-\frac { 10 } { 3 } $