Bài tập nâng cao · Bài 170
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 170
Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;3 \right] $thỏa mãn $ f(3)=4,\int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } dx=\frac { 1 } { 27 } } $ và $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 3 } f(x)dx=\frac { 333 } { 4 }. } $ Giá trị của $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f(x)dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xét: $ \frac { 333 } { 4 }=\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 3 } f(x)dx=\frac { x ^ { 4 } } { 4 }f(x)\left | { _{ 0 } ^{ 3 } } \right .-\frac { 1 } { 4 } }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right )dx } $ Vì $ f(3)=4 $ nên ta có:
$ \frac { 333 } { 4 }=81-\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right )dx }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right )dx }=-9 $
Ta lại có $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 8 } dx }=\frac { x ^ { 9 } } { 9 }\left | { _{ 0 } ^{ 3 } } \right .=3 ^ { 7 } $.
Do đó: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ 9f'(x)+\frac { x ^ { 4 } } { 27 } \right] ^ { 2 } dx= }81\int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } dx+\frac { 2 } { 3 }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } f'(x)dx+\frac { 1 } { 3 ^ { 6 } }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 8 } }=\frac { 81 } { 27 } }+\frac { 2 } { 3 }\left ( { -9 } \right ) }+\frac { 3 ^ { 7 } } { 3 ^ { 6 } }=0 $
Suy ra: $ 9f'(x)+\frac { x ^ { 4 } } { 27 }=0\Rightarrow f'(x)=-\frac { x ^ { 4 } } { 3 ^ { 5 } }\Rightarrow f(x)=-\frac { x ^ { 5 } } { 5.3 ^ { 5 } }+C $
Mà $ f(3)=4\Rightarrow -\frac { 3 ^ { 5 } } { 5.3 ^ { 5 } }+C=4\Rightarrow C=\frac { 21 } { 5 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { x ^ { 5 } } { 5.3 ^ { 5 } }+\frac { 21 } { 5 }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 25 } { 2 } $
$ \frac { 333 } { 4 }=81-\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right )dx }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right )dx }=-9 $
Ta lại có $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 8 } dx }=\frac { x ^ { 9 } } { 9 }\left | { _{ 0 } ^{ 3 } } \right .=3 ^ { 7 } $.
Do đó: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ 9f'(x)+\frac { x ^ { 4 } } { 27 } \right] ^ { 2 } dx= }81\int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } dx+\frac { 2 } { 3 }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } f'(x)dx+\frac { 1 } { 3 ^ { 6 } }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 8 } }=\frac { 81 } { 27 } }+\frac { 2 } { 3 }\left ( { -9 } \right ) }+\frac { 3 ^ { 7 } } { 3 ^ { 6 } }=0 $
Suy ra: $ 9f'(x)+\frac { x ^ { 4 } } { 27 }=0\Rightarrow f'(x)=-\frac { x ^ { 4 } } { 3 ^ { 5 } }\Rightarrow f(x)=-\frac { x ^ { 5 } } { 5.3 ^ { 5 } }+C $
Mà $ f(3)=4\Rightarrow -\frac { 3 ^ { 5 } } { 5.3 ^ { 5 } }+C=4\Rightarrow C=\frac { 21 } { 5 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { x ^ { 5 } } { 5.3 ^ { 5 } }+\frac { 21 } { 5 }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 25 } { 2 } $