Bài tập nâng cao · Bài 169
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 169
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ f\left ( { 0 } \right )=3 $ và $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 2-x } \right )=x ^ { 2 } -2x+2 $, $ ∀x\in \mathbb{R} $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { x{ \rm{ d } }\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) }=\left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Do $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 2-x } \right )=x ^ { 2 } -2x+2 $, $ ∀x\in \mathbb{R} $$ \Rightarrow f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 2 } \right )=2 $$ \Rightarrow f\left ( { 2 } \right )=2-f\left ( { 0 } \right )=2-3=-1 $
$ \Rightarrow \left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=2\cdot f\left ( { 2 } \right )-0\cdot f\left ( { 0 } \right )=2\cdot \left ( { -1 } \right )=-2 $$ \Rightarrow I=-2-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-2-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $
Đặt $ t=2-x $$ \Rightarrow { \rm{ d } }t=-{ \rm{ d } }x $. Đổi cận $ \left \{ \begin{array}{l} x=0\Rightarrow t=2 \\ x=2\Rightarrow t=0 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 2 }^{ 0 } { f\left ( { 2-x } \right )\left ( { -{ \rm{ d } }x } \right ) }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 2-x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 2-x } \right ){ \rm{ d } }x } } $$ \Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 2-x } \right ){ \rm{ d } }x } }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 2-x } \right ) \right] }\,{ \rm{ d } }x $
$ \Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x= }\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } -2x+2 } \right ){ \rm{ d } }x= }\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x ^ { 2 } +2x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 2 ^ { 3 } } { 3 }-2 ^ { 2 } +2\cdot 2=\frac { 8 } { 3 } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 3 } $
Vậy $ I=-2-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-2-\frac { 4 } { 3 }=-\frac { 10 } { 3 } $.
Do $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 2-x } \right )=x ^ { 2 } -2x+2 $, $ ∀x\in \mathbb{R} $$ \Rightarrow f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 2 } \right )=2 $$ \Rightarrow f\left ( { 2 } \right )=2-f\left ( { 0 } \right )=2-3=-1 $
$ \Rightarrow \left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=2\cdot f\left ( { 2 } \right )-0\cdot f\left ( { 0 } \right )=2\cdot \left ( { -1 } \right )=-2 $$ \Rightarrow I=-2-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-2-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $
Đặt $ t=2-x $$ \Rightarrow { \rm{ d } }t=-{ \rm{ d } }x $. Đổi cận $ \left \{ \begin{array}{l} x=0\Rightarrow t=2 \\ x=2\Rightarrow t=0 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 2 }^{ 0 } { f\left ( { 2-x } \right )\left ( { -{ \rm{ d } }x } \right ) }=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 2-x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 2-x } \right ){ \rm{ d } }x } } $$ \Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 2-x } \right ){ \rm{ d } }x } }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 2-x } \right ) \right] }\,{ \rm{ d } }x $
$ \Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x= }\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } -2x+2 } \right ){ \rm{ d } }x= }\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x ^ { 2 } +2x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 2 ^ { 3 } } { 3 }-2 ^ { 2 } +2\cdot 2=\frac { 8 } { 3 } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 3 } $
Vậy $ I=-2-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-2-\frac { 4 } { 3 }=-\frac { 10 } { 3 } $.