Bài tập nâng cao · Bài 168
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 168
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $, $ f\left ( { x } \right )>0 $ với mọi $ x\in \left[ 1;4 \right] $ và có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 1;4 \right] $, thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ và $ \left[ 2f\left ( { x } \right )+x.f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } =\frac { f\left ( { x } \right ) } { x } $ với mọi $ x\in \left[ 1;4 \right] $. Khi đó $ \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Vì $ f\left ( { x } \right )>0 $ với mọi $ x\in \left[ 1;4 \right] $ nên giả thiết $ \left[ 2f\left ( { x } \right )+x.f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } =\frac { f\left ( { x } \right ) } { x } $
$ \Leftrightarrow 2f\left ( { x } \right )+x.f'\left ( { x } \right )=\frac { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } { \sqrt[] { x } } $
$ \Leftrightarrow 2.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }+\frac { x.f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { x } } $
$ \Leftrightarrow \left ( { 2x } \right )'\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }+2x.\frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { x } } $
$ \Leftrightarrow \left ( { 2x.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } \right )'=\frac { 1 } { \sqrt[] { x } } $
$ \Leftrightarrow 2x.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }=\int { \frac { 1 } { \sqrt[] { x } }dx } $
$ \Leftrightarrow 2x.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }=2\sqrt[] { x }+C $
Vì $ f\left ( { 1 } \right )=1\Rightarrow 2.1.\sqrt[] { f\left ( { 1 } \right ) }=2\sqrt[] { 1 }+C\Rightarrow C=0 $
Do đó $ 2x.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }=2\sqrt[] { x }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x } $.
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ) }dx=\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 1 } { x } }dx=\left | { \left ( { ln\left | { x } \right | } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 }=ln4=2ln2. $
$ \Leftrightarrow 2f\left ( { x } \right )+x.f'\left ( { x } \right )=\frac { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } { \sqrt[] { x } } $
$ \Leftrightarrow 2.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }+\frac { x.f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { x } } $
$ \Leftrightarrow \left ( { 2x } \right )'\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }+2x.\frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { x } } $
$ \Leftrightarrow \left ( { 2x.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } \right )'=\frac { 1 } { \sqrt[] { x } } $
$ \Leftrightarrow 2x.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }=\int { \frac { 1 } { \sqrt[] { x } }dx } $
$ \Leftrightarrow 2x.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }=2\sqrt[] { x }+C $
Vì $ f\left ( { 1 } \right )=1\Rightarrow 2.1.\sqrt[] { f\left ( { 1 } \right ) }=2\sqrt[] { 1 }+C\Rightarrow C=0 $
Do đó $ 2x.\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) }=2\sqrt[] { x }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x } $.
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ) }dx=\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 1 } { x } }dx=\left | { \left ( { ln\left | { x } \right | } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 }=ln4=2ln2. $