Bài tập nâng cao · Bài 167
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 167
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $, đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đi qua điểm $ A\left ( { 1;0 } \right ) $ và nhận điểm $ I\left ( { 2;2 } \right ) $ làm tâm đối xứng. Giá trị của $ \int _{ 1 }^{ 3 } { x\left ( { x-2 } \right )\left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1.
Đặt $ t=4-x\Rightarrow dt=-dx $.
Đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $có $ I\left ( { 2;2 } \right ) $ là tâm đối xứng nên $ \frac { f\left ( { x } \right )+f\left ( { 4-x } \right ) } { 2 }=2 $.
Như vậy $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 4-x } \right )=4\Rightarrow f'\left ( { x } \right )-f'\left ( { 4-x } \right )=0\Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )=f'\left ( { 4-x } \right ),∀x\in \mathbb{R} $.
Ta có $ I=\int _{ 1 }^{ 3 } { x\left ( { x-2 } \right )\left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx } =\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { 4-t } \right )\left ( { 2-t } \right )\left[ f\left ( { 4-t } \right )+f'\left ( { 4-t } \right ) \right]dt } =\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )\left[ 4-f\left ( { t } \right )+f'\left ( { t } \right ) \right]dt } =\int _{ 1 }^{ 3 } { 4\left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )dt }-\int _{ 1 }^{ 3 } { \left[ t ^ { 2 } -2t-4\left ( { t-2 } \right ) \right].\left[ f\left ( { t } \right )+f'\left ( { t } \right ) \right]dt }+\int _{ 1 }^{ 3 } { 2\left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )f'\left ( { t } \right )dt } =2.\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )dt }+\int _{ 1 }^{ 3 } { 2\left ( { t-2 } \right )\left[ f\left ( { t } \right )+f'\left ( { t } \right ) \right]dt }+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )f'\left ( { t } \right )dt } =\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )dt+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { 2t-4 } \right )f\left ( { t } \right )dt }+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -4t+4 } \right )f'\left ( { t } \right )dt } } =\left | { \left ( { \frac { t ^ { 3 } } { 3 }-3t ^ { 2 } +8t } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 3 }+\left | { \left ( { t ^ { 2 } -4t+4 } \right )f\left ( { t } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 3 }=\frac { 16 } { 3 } $.
Cách 2. Chọn hàm $ f\left ( { x } \right )=a\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } +2 $.
Ta có $ A\left ( { 1;0 } \right )\in $đồ thị $ \left ( { C } \right ):y=f\left ( { x } \right ) $.
Khi đó $ a\left ( { -1 } \right ) ^ { 3 } +2=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow f\left ( { x } \right )=2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } +2 $ và có $ f'\left ( { x } \right )=6\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } $.
Do đó $ \int _{ 1 }^{ 3 } { x\left ( { x-2 } \right )\left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx }=\int _{ 1 }^{ 3 } { x\left ( { x-2 } \right )\left[ 2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } +6\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } \right]dx }=\frac { 16 } { 3 } $.
Đặt $ t=4-x\Rightarrow dt=-dx $.
Đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $có $ I\left ( { 2;2 } \right ) $ là tâm đối xứng nên $ \frac { f\left ( { x } \right )+f\left ( { 4-x } \right ) } { 2 }=2 $.
Như vậy $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 4-x } \right )=4\Rightarrow f'\left ( { x } \right )-f'\left ( { 4-x } \right )=0\Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )=f'\left ( { 4-x } \right ),∀x\in \mathbb{R} $.
Ta có $ I=\int _{ 1 }^{ 3 } { x\left ( { x-2 } \right )\left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx } =\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { 4-t } \right )\left ( { 2-t } \right )\left[ f\left ( { 4-t } \right )+f'\left ( { 4-t } \right ) \right]dt } =\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )\left[ 4-f\left ( { t } \right )+f'\left ( { t } \right ) \right]dt } =\int _{ 1 }^{ 3 } { 4\left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )dt }-\int _{ 1 }^{ 3 } { \left[ t ^ { 2 } -2t-4\left ( { t-2 } \right ) \right].\left[ f\left ( { t } \right )+f'\left ( { t } \right ) \right]dt }+\int _{ 1 }^{ 3 } { 2\left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )f'\left ( { t } \right )dt } =2.\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )dt }+\int _{ 1 }^{ 3 } { 2\left ( { t-2 } \right )\left[ f\left ( { t } \right )+f'\left ( { t } \right ) \right]dt }+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )f'\left ( { t } \right )dt } =\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -6t+8 } \right )dt+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { 2t-4 } \right )f\left ( { t } \right )dt }+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { t ^ { 2 } -4t+4 } \right )f'\left ( { t } \right )dt } } =\left | { \left ( { \frac { t ^ { 3 } } { 3 }-3t ^ { 2 } +8t } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 3 }+\left | { \left ( { t ^ { 2 } -4t+4 } \right )f\left ( { t } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 3 }=\frac { 16 } { 3 } $.
Cách 2. Chọn hàm $ f\left ( { x } \right )=a\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } +2 $.
Ta có $ A\left ( { 1;0 } \right )\in $đồ thị $ \left ( { C } \right ):y=f\left ( { x } \right ) $.
Khi đó $ a\left ( { -1 } \right ) ^ { 3 } +2=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow f\left ( { x } \right )=2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } +2 $ và có $ f'\left ( { x } \right )=6\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } $.
Do đó $ \int _{ 1 }^{ 3 } { x\left ( { x-2 } \right )\left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx }=\int _{ 1 }^{ 3 } { x\left ( { x-2 } \right )\left[ 2\left ( { x-2 } \right ) ^ { 3 } +6\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } \right]dx }=\frac { 16 } { 3 } $.