Bài tập nâng cao · Bài 166
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 166
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ 3f'\left ( { x } \right ).e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right )-x ^ { 2 } -1 } -\frac { 2x } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=0 $ và $ f\left ( { 0 } \right )=1 $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ 3f'\left ( { x } \right ).e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right )-x ^ { 2 } -1 } -\frac { 2x } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=0\Leftrightarrow 3f'\left ( { x } \right ).\frac { e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } } { e ^ { x ^ { 2 } +1 } }-\frac { 2x } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=0 $
$ \Leftrightarrow 3f'\left ( { x } \right ).f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } -2x.e ^ { x ^ { 2 } +1 } =0\Leftrightarrow 3f'\left ( { x } \right ).f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =2x.e ^ { x ^ { 2 } +1 } $
$ \Rightarrow \int { 3f'\left ( { x } \right ).f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }x }=\int { 2x.e ^ { x ^ { 2 } +1 } { \rm{ d } }x } $
$ \Leftrightarrow \int { \left ( { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } \right )' e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }x } =\int { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )' e ^ { x ^ { 2 } +1 } { \rm{ d } }x } $
$ \Leftrightarrow \int { e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }\left ( { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } \right ) }=\int { e ^ { x ^ { 2 } +1 } { \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } $.
$ \Leftrightarrow e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =e ^ { x ^ { 2 } +1 } +C $.
Thay $ x=0 $ vào $ \Leftrightarrow e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =e ^ { x ^ { 2 } +1 } +C $ ta được $ e ^ { f ^ { 3 } \left ( { 0 } \right ) } =e ^ { 0 ^ { 2 } +1 } +C\Leftrightarrow C=0 $.
Do đó $ e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =e ^ { x ^ { 2 } +1 } \Leftrightarrow f ^ { 3 } \left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +1\Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 } $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )'\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { \sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }=\frac { 3 } { 8 }\left | { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 } } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 7 } }=\frac { 48 } { 8 }-\frac { 3 } { 8 }=\frac { 45 } { 8 } $.
$ \Leftrightarrow 3f'\left ( { x } \right ).f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } -2x.e ^ { x ^ { 2 } +1 } =0\Leftrightarrow 3f'\left ( { x } \right ).f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =2x.e ^ { x ^ { 2 } +1 } $
$ \Rightarrow \int { 3f'\left ( { x } \right ).f ^ { 2 } \left ( { x } \right ).e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }x }=\int { 2x.e ^ { x ^ { 2 } +1 } { \rm{ d } }x } $
$ \Leftrightarrow \int { \left ( { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } \right )' e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }x } =\int { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )' e ^ { x ^ { 2 } +1 } { \rm{ d } }x } $
$ \Leftrightarrow \int { e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } { \rm{ d } }\left ( { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } \right ) }=\int { e ^ { x ^ { 2 } +1 } { \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } $.
$ \Leftrightarrow e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =e ^ { x ^ { 2 } +1 } +C $.
Thay $ x=0 $ vào $ \Leftrightarrow e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =e ^ { x ^ { 2 } +1 } +C $ ta được $ e ^ { f ^ { 3 } \left ( { 0 } \right ) } =e ^ { 0 ^ { 2 } +1 } +C\Leftrightarrow C=0 $.
Do đó $ e ^ { f ^ { 3 } \left ( { x } \right ) } =e ^ { x ^ { 2 } +1 } \Leftrightarrow f ^ { 3 } \left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +1\Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 } $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { x.\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )'\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 7 } } { \sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }=\frac { 3 } { 8 }\left | { \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )\sqrt[3] { x ^ { 2 } +1 } } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 7 } }=\frac { 48 } { 8 }-\frac { 3 } { 8 }=\frac { 45 } { 8 } $.