Bài tập nâng cao · Bài 165
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 165
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ xác định và có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 1\,;\,3 \right] $, $ f\left ( { x } \right )\neq 0 $ với mọi $ x\in \left[ 1\,;\,3 \right] $, đồng thời $ f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } =\left[ \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } $ và $ f\left ( { 1 } \right )=-1 $. Biết rằng$ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=aln3+b $, $ a\,;\,b\in \mathbb{Z} $. Tính tổng $ S=a+b ^ { 2 } $:
Xem lời giải
Lời giải
Do $ f\left ( { x } \right )\neq 0 $ với mọi $ x\in \left[ 1\,;\,3 \right] $ nên ta có: $ f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } =\left[ \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } $
$ \Rightarrow $$ f'\left ( { x } \right )\left[ \frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) } \right] ^ { 2 } =\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } $$ \Rightarrow $$ f'\left ( { x } \right )\left[ \frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 4 } }+\frac { 2 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } } \right]=\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } $
$ \Rightarrow $$ -\frac { 1 } { 3\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }-\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } +C $
Lại có: $ f\left ( { 1 } \right )=-1 $$ \Rightarrow $$ C=\frac { 1 } { 3 } $$ \Rightarrow $$ -\frac { 1 } { 3\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }-\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } +\frac { 1 } { 3 } $
$ \Rightarrow $$ \left[ \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }+1 \right] ^ { 3 } =\left ( { 1-x } \right ) ^ { 3 } $$ \Rightarrow $$ \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }+1=1-x $$ \Rightarrow $$ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x } $
$ \Rightarrow $$ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { -\frac { 1 } { x } } \right )dx }=-ln\left | { x } \right |\left | { 3 \\ 1 } \right .=-ln3 $
Vậy $ a=-1 $; $ b=0 $$ \Rightarrow $$ S=a+b ^ { 2 } =-1 $
$ \Rightarrow $$ f'\left ( { x } \right )\left[ \frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) } \right] ^ { 2 } =\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } $$ \Rightarrow $$ f'\left ( { x } \right )\left[ \frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 4 } }+\frac { 2 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 3 } }+\frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } } \right]=\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } $
$ \Rightarrow $$ -\frac { 1 } { 3\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }-\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } +C $
Lại có: $ f\left ( { 1 } \right )=-1 $$ \Rightarrow $$ C=\frac { 1 } { 3 } $$ \Rightarrow $$ -\frac { 1 } { 3\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }-\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } +\frac { 1 } { 3 } $
$ \Rightarrow $$ \left[ \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }+1 \right] ^ { 3 } =\left ( { 1-x } \right ) ^ { 3 } $$ \Rightarrow $$ \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }+1=1-x $$ \Rightarrow $$ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x } $
$ \Rightarrow $$ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { -\frac { 1 } { x } } \right )dx }=-ln\left | { x } \right |\left | { 3 \\ 1 } \right .=-ln3 $
Vậy $ a=-1 $; $ b=0 $$ \Rightarrow $$ S=a+b ^ { 2 } =-1 $