Bài tập nâng cao · Bài 164
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 164
Hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f^2(1-x)=(x^2+3)f(x+1)$. Biết $f(x)\ne0$, $\forall x\in\mathbb{R}$; tính $I=\int_0^2(2x-1)f''(x)\,dx$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $u=2x-1$, $dv=f''(x)\,dx$; khi đó $du=2\,dx$, $v=f'(x)$.
Ta có $ I=\left | { \left ( { 2x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-2\int _{ 0 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-\left | { 2f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 } =3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-2\left ( { f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 0 } \right ) } \right ) $.
Xét $ f ^ { 2 } \left ( { 1-x } \right )=\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right ).f\left ( { x+1 } \right )\left ( { 1 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ cho $ x=-1,x=1 $ta được hệ sau $ \left \{ \begin{array}{l} f ^ { 2 } \left ( { 2 } \right )=4f\left ( { 0 } \right ) \\ f ^ { 2 } \left ( { 0 } \right )=4f\left ( { 2 } \right ) \end{array} \right. $
$ \Rightarrow f ^ { 2 } \left ( { 2 } \right )f ^ { 2 } \left ( { 0 } \right )=16f\left ( { 0 } \right )f\left ( { 2 } \right )\Rightarrow f\left ( { 0 } \right )f\left ( { 2 } \right )=16 $(do $ f\left ( { x } \right )\neq 0,∀x\in \mathbb{R} $nên$ f\left ( { 0 } \right ),f\left ( { 2 } \right )\neq 0 $)
$ \Leftrightarrow f\left ( { 0 } \right )=\frac { 16 } { f\left ( { 2 } \right ) } $.
Khi đó ta có $ f ^ { 2 } \left ( { 2 } \right )=4.\frac { 16 } { f\left ( { 2 } \right ) }\Leftrightarrow f ^ { 3 } \left ( { 2 } \right )=64\Leftrightarrow f\left ( { 2 } \right )=4\Rightarrow f\left ( { 0 } \right )=4 $.
Đạo hàm 2 vế của$ \left ( { 1 } \right ) $ta được $ -2f\left ( { 1-x } \right )f'\left ( { 1-x } \right )=2xf\left ( { x+1 } \right )+\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right )f'\left ( { x+1 } \right )\left ( { 2 } \right ) $
Từ $ \left ( { 2 } \right ) $ cho $ x=-1,x=1 $ta được hệ sau$ \left \{ \begin{array}{l} -2f\left ( { 2 } \right )f'\left ( { 2 } \right )=-2f\left ( { 0 } \right )+4f'\left ( { 0 } \right ) \\ -2f\left ( { 0 } \right )f'\left ( { 0 } \right )=2f\left ( { 2 } \right )+4f'\left ( { 2 } \right ) \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -8f'\left ( { 2 } \right )=-8+4f'\left ( { 0 } \right ) \\ -8f'\left ( { 0 } \right )=8+4f'\left ( { 2 } \right ) \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} f'\left ( { 0 } \right )=-2 \\ f'\left ( { 2 } \right )=2 \end{array} \right. $.
Vậy $ I=3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-2\left ( { f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 0 } \right ) } \right ) =3.2-2-2\left ( { 4-4 } \right ) =4 $.
Ta có $ I=\left | { \left ( { 2x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-2\int _{ 0 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-\left | { 2f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 } =3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-2\left ( { f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 0 } \right ) } \right ) $.
Xét $ f ^ { 2 } \left ( { 1-x } \right )=\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right ).f\left ( { x+1 } \right )\left ( { 1 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ cho $ x=-1,x=1 $ta được hệ sau $ \left \{ \begin{array}{l} f ^ { 2 } \left ( { 2 } \right )=4f\left ( { 0 } \right ) \\ f ^ { 2 } \left ( { 0 } \right )=4f\left ( { 2 } \right ) \end{array} \right. $
$ \Rightarrow f ^ { 2 } \left ( { 2 } \right )f ^ { 2 } \left ( { 0 } \right )=16f\left ( { 0 } \right )f\left ( { 2 } \right )\Rightarrow f\left ( { 0 } \right )f\left ( { 2 } \right )=16 $(do $ f\left ( { x } \right )\neq 0,∀x\in \mathbb{R} $nên$ f\left ( { 0 } \right ),f\left ( { 2 } \right )\neq 0 $)
$ \Leftrightarrow f\left ( { 0 } \right )=\frac { 16 } { f\left ( { 2 } \right ) } $.
Khi đó ta có $ f ^ { 2 } \left ( { 2 } \right )=4.\frac { 16 } { f\left ( { 2 } \right ) }\Leftrightarrow f ^ { 3 } \left ( { 2 } \right )=64\Leftrightarrow f\left ( { 2 } \right )=4\Rightarrow f\left ( { 0 } \right )=4 $.
Đạo hàm 2 vế của$ \left ( { 1 } \right ) $ta được $ -2f\left ( { 1-x } \right )f'\left ( { 1-x } \right )=2xf\left ( { x+1 } \right )+\left ( { x ^ { 2 } +3 } \right )f'\left ( { x+1 } \right )\left ( { 2 } \right ) $
Từ $ \left ( { 2 } \right ) $ cho $ x=-1,x=1 $ta được hệ sau$ \left \{ \begin{array}{l} -2f\left ( { 2 } \right )f'\left ( { 2 } \right )=-2f\left ( { 0 } \right )+4f'\left ( { 0 } \right ) \\ -2f\left ( { 0 } \right )f'\left ( { 0 } \right )=2f\left ( { 2 } \right )+4f'\left ( { 2 } \right ) \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -8f'\left ( { 2 } \right )=-8+4f'\left ( { 0 } \right ) \\ -8f'\left ( { 0 } \right )=8+4f'\left ( { 2 } \right ) \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} f'\left ( { 0 } \right )=-2 \\ f'\left ( { 2 } \right )=2 \end{array} \right. $.
Vậy $ I=3f'\left ( { 2 } \right )+f'\left ( { 0 } \right )-2\left ( { f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 0 } \right ) } \right ) =3.2-2-2\left ( { 4-4 } \right ) =4 $.