Bài tập nâng cao · Bài 163
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 163
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ xác định và liên tục trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0 \end{array} \right \} $ thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=-2 $, $ f\left ( { x } \right )\neq -\frac { 1 } { x } $ và $ x ^ { 2 } f ^ { 2 } \left ( { x } \right )+\left ( { 2x-1 } \right )f\left ( { x } \right )=xf'\left ( { x } \right )-1 $ $ ∀x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0 \end{array} \right \} $. Tính $ \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } $.
Xem lời giải
Lời giải
$ x ^ { 2 } f ^ { 2 } \left ( { x } \right )+\left ( { 2x-1 } \right )f\left ( { x } \right )=xf'\left ( { x } \right )-1 \\ \Leftrightarrow x ^ { 2 } f ^ { 2 } \left ( { x } \right )+2xf\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right )=xf'\left ( { x } \right )-1 \\ \Leftrightarrow x ^ { 2 } f ^ { 2 } \left ( { x } \right )+2xf\left ( { x } \right )+1=xf'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right ) \\ \Leftrightarrow \left[ xf\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } =\left ( { xf\left ( { x } \right )+1 } \right )'. $
Do đó $ \frac { \left ( { xf\left ( { x } \right )+1 } \right )' } { \left[ xf\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } }=1\Rightarrow \int { \frac { \left ( { xf\left ( { x } \right )+1 } \right )' } { \left[ xf\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } }dx }=\int { dx }\Rightarrow -\frac { 1 } { xf\left ( { x } \right )+1 }=x+C $.
Mà $ f\left ( { 1 } \right )=-2\Rightarrow -\frac { 1 } { f\left ( { 1 } \right )+1 }=1+C\Rightarrow -\frac { 1 } { -2+1 }=1+C\Rightarrow C=0 $.
Nên $ -\frac { 1 } { xf\left ( { x } \right )+1 }=x\Rightarrow xf\left ( { x } \right )+1=-\frac { 1 } { x }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }-\frac { 1 } { x } $.
Suy ra $ \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } }-\frac { 1 } { x } } \right )dx }=\left | { \left ( { \frac { 1 } { x }-lnx } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 }=\frac { 1 } { 4 }-ln4-1+ln1=-2ln2-\frac { 3 } { 4 } $.
Do đó $ \frac { \left ( { xf\left ( { x } \right )+1 } \right )' } { \left[ xf\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } }=1\Rightarrow \int { \frac { \left ( { xf\left ( { x } \right )+1 } \right )' } { \left[ xf\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } }dx }=\int { dx }\Rightarrow -\frac { 1 } { xf\left ( { x } \right )+1 }=x+C $.
Mà $ f\left ( { 1 } \right )=-2\Rightarrow -\frac { 1 } { f\left ( { 1 } \right )+1 }=1+C\Rightarrow -\frac { 1 } { -2+1 }=1+C\Rightarrow C=0 $.
Nên $ -\frac { 1 } { xf\left ( { x } \right )+1 }=x\Rightarrow xf\left ( { x } \right )+1=-\frac { 1 } { x }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }-\frac { 1 } { x } $.
Suy ra $ \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left ( { -\frac { 1 } { x ^ { 2 } }-\frac { 1 } { x } } \right )dx }=\left | { \left ( { \frac { 1 } { x }-lnx } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 }=\frac { 1 } { 4 }-ln4-1+ln1=-2ln2-\frac { 3 } { 4 } $.