Bài tập nâng cao · Bài 162
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 162
Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định và có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ [1;3] $. $ f(x)\neq 0 $ với mọi $ x\in [1;3] $, đồng thời$ f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } =\left[ \left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } $ và $ f\left ( { 1 } \right )=-1 $. Biết rằng $ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=aln3+b } $$ \left ( { a,b\in \mathbb{Z} } \right ) $. Tính tổng $ S=a+b ^ { 2 } $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } =\left[ \left ( { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } \Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } } { f ^ { 4 } (x) }=(x-1) ^ { 2 } \\ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ x } { \frac { f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } } { f ^ { 4 } (x) }dx= }\int _{ 1 }^{ x } { (x-1) ^ { 2 } dx } \\ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ x } { \left ( { \frac { 1 } { f ^ { 4 } (x) }+\frac { 2 } { f ^ { 3 } (x) }+\frac { 1 } { f ^ { 2 } (x) } } \right )d(f(x)) }=\frac { (x-1) ^ { 3 } } { 3 }+\frac { 0 } { 3 } \\ \Leftrightarrow -\frac { 1 } { 3f ^ { 3 } (x) }-\frac { 1 } { f ^ { 2 } (x) }-\frac { 1 } { f(x) }-\frac { 1 } { 3 }=\frac { (x-1) ^ { 3 } } { 3 }=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +x-\frac { 1 } { 3 } \\ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { -1 } { f(x) } } \right ) ^ { 3 } -\left ( { \frac { -1 } { f(x) } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { -1 } { f(x) } } \right )=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +x $
Ta xét hàm đặc trưng: $ y=f=g(t)=\frac { 1 } { 3 }t ^ { 3 } -t ^ { 2 } +t $ có $ g'(t)=t ^ { 2 } -2t+1=(t-1) ^ { 2 } \geq 0∀t\in [1;3] $
Suy ra $ g(t) $ đồng biến trên R $ \Rightarrow g\left ( { \frac { -1 } { f(x) } } \right )=g(x)\Leftrightarrow \frac { -1 } { f(x) }=x\Leftrightarrow f(x)=\frac { -1 } { x } $
Vậy $ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { -dx } { x }=-ln3=aln3+b } } $. Mà $ a,b\in Z $nên $ \left \{ \begin{array}{l} a=-1 \\ b=0 \end{array} \right.\Rightarrow S=a+b ^ { 2 } =-1 $
$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } =\left[ \left ( { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } \Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } } { f ^ { 4 } (x) }=(x-1) ^ { 2 } \\ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ x } { \frac { f'\left ( { x } \right )\left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } } { f ^ { 4 } (x) }dx= }\int _{ 1 }^{ x } { (x-1) ^ { 2 } dx } \\ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ x } { \left ( { \frac { 1 } { f ^ { 4 } (x) }+\frac { 2 } { f ^ { 3 } (x) }+\frac { 1 } { f ^ { 2 } (x) } } \right )d(f(x)) }=\frac { (x-1) ^ { 3 } } { 3 }+\frac { 0 } { 3 } \\ \Leftrightarrow -\frac { 1 } { 3f ^ { 3 } (x) }-\frac { 1 } { f ^ { 2 } (x) }-\frac { 1 } { f(x) }-\frac { 1 } { 3 }=\frac { (x-1) ^ { 3 } } { 3 }=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +x-\frac { 1 } { 3 } \\ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { -1 } { f(x) } } \right ) ^ { 3 } -\left ( { \frac { -1 } { f(x) } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { -1 } { f(x) } } \right )=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +x $
Ta xét hàm đặc trưng: $ y=f=g(t)=\frac { 1 } { 3 }t ^ { 3 } -t ^ { 2 } +t $ có $ g'(t)=t ^ { 2 } -2t+1=(t-1) ^ { 2 } \geq 0∀t\in [1;3] $
Suy ra $ g(t) $ đồng biến trên R $ \Rightarrow g\left ( { \frac { -1 } { f(x) } } \right )=g(x)\Leftrightarrow \frac { -1 } { f(x) }=x\Leftrightarrow f(x)=\frac { -1 } { x } $
Vậy $ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { -dx } { x }=-ln3=aln3+b } } $. Mà $ a,b\in Z $nên $ \left \{ \begin{array}{l} a=-1 \\ b=0 \end{array} \right.\Rightarrow S=a+b ^ { 2 } =-1 $