Bài tập nâng cao · Bài 161
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 161
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ f\left ( { 0 } \right )=3 $ và $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 2-x } \right )=x ^ { 2 } -2x+2,\,∀x\in \mathbb{R}. $ Tính $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { x.f'\left ( { x } \right )dx } $
Xem lời giải
Lời giải
* Với $ x=0, $ ta có: $ f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 2 } \right )=2\Leftrightarrow f\left ( { 2 } \right )=-1 $
$ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 2-x } \right )=x ^ { 2 } -2x+2,\,∀x\in \mathbb{R}. $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 2-x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } -2x+2 } \right )dx } \\ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 8 } { 3 } $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 4 } { 3 } $
* Xét $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { x.f'\left ( { x } \right )dx } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=f'\left ( { x } \right ).dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=d \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $
$ I=\left | { x.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=2.f\left ( { 2 } \right )-\frac { 4 } { 3 }=-\frac { 10 } { 3 } $.
$ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 2-x } \right )=x ^ { 2 } -2x+2,\,∀x\in \mathbb{R}. $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { 2-x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } -2x+2 } \right )dx } \\ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 8 } { 3 } $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 4 } { 3 } $
* Xét $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { x.f'\left ( { x } \right )dx } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=f'\left ( { x } \right ).dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=d \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $
$ I=\left | { x.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=2.f\left ( { 2 } \right )-\frac { 4 } { 3 }=-\frac { 10 } { 3 } $.