Bài tập nâng cao · Bài 160
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 160
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $, $ xf'\left ( { x } \right )=e ^ { x ^ { 2 } } -1,\,∀x\in \mathbb{R},\,f\left ( { 1 } \right )=0 $. Giá trị $ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right )dx } $bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ xf'\left ( { x } \right )=e ^ { x ^ { 2 } } -1\Rightarrow x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )=x\left ( { e ^ { x ^ { 2 } } -1 } \right ) $.
Xét $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right )dx } $. Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ dv=xdx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=f'\left ( { x } \right )dx \\ v=\frac { x ^ { 2 } } { 2 } \end{array} \right. $.
Suy ra $ I=\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )dx }=\frac { 1 } { 2 }f\left ( { 1 } \right )-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { e ^ { x } -1 } \right )dx }=-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { e ^ { x ^ { 2 } } -1 } \right )dx } $.
Xét $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { e ^ { x ^ { 2 } } -1 } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 1 } { xe ^ { x ^ { 2 } } dx }-\int _{ 0 }^{ 1 } { xdx } $.
Đặt $ t=x ^ { 2 } \Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow J=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { t } dt }-\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\left | { \frac { 1 } { 2 }e ^ { t } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }e-1=\frac { 1 } { 2 }\left ( { e-2 } \right ) $.
Vậy $ I=-\frac { 1 } { 2 }.J=-\frac { 1 } { 4 }\left ( { e-2 } \right ) $.
Xét $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right )dx } $. Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ dv=xdx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=f'\left ( { x } \right )dx \\ v=\frac { x ^ { 2 } } { 2 } \end{array} \right. $.
Suy ra $ I=\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )dx }=\frac { 1 } { 2 }f\left ( { 1 } \right )-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { e ^ { x } -1 } \right )dx }=-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { e ^ { x ^ { 2 } } -1 } \right )dx } $.
Xét $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { e ^ { x ^ { 2 } } -1 } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 1 } { xe ^ { x ^ { 2 } } dx }-\int _{ 0 }^{ 1 } { xdx } $.
Đặt $ t=x ^ { 2 } \Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow J=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { t } dt }-\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\left | { \frac { 1 } { 2 }e ^ { t } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 2 }e-1=\frac { 1 } { 2 }\left ( { e-2 } \right ) $.
Vậy $ I=-\frac { 1 } { 2 }.J=-\frac { 1 } { 4 }\left ( { e-2 } \right ) $.