Bài tập nâng cao · Bài 159
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 159
Cho $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số liên tục có đạo hàm $ f'(x) $ trên $ \left[ 0;1 \right] $, $ f\left ( { 0 } \right )=0 $. Biết $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } dx }=\frac { 1 } { 3 },\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }\ dx=-\frac { 1 } { 3 } $. Khi đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { x } \right )dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right]dx }=\frac { 1 } { 3 }\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $
Xét tích phân: $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 1 } { 3 } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ dv=dx \end{array} \right.\, $, ta chọn $ \left \{ \begin{array}{l} du=f'\left ( { x } \right )dx \\ v=x-1 \end{array} \right. $
Khi đó: $ I=\left ( { x-1 } \right )f\left ( { x } \right )\left | { 1 \\ 0 } \right .\,-\,\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx } $
$ \Rightarrow -\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 1 } { 3 }\,\,\Leftrightarrow -\,\,\int _{ 0 }^{ 1 } { 2\left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 2 } { 3 }\,\,\left ( { 2 } \right ) $
Ta lại có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } dx }=\frac { 1 } { 3 }\,\,\left ( { 3 } \right ) $
Cộng vế với vế của $ \left ( { 1 } \right ),\,\,\left ( { 2 } \right ) $ và $ \left ( { 3 } \right ) $ ta được:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } -2\left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )+\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } \right]dx=\frac { 1 } { 3 }-\frac { 2 } { 3 }+\frac { 1 } { 3 }=0 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-\left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } dx }=0 $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=x-1\,,\,\,∀x\in \left[ 0;1 \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { * } \right )\,\, $
Nguyên hàm hai vế của $ \,\left ( { * } \right ) $ ta được:
$ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-x+C $
Mà $ f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-x $
Vậy $ \int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }-x } \right )dx=-\frac { 5 } { 48 } } $.
Xét tích phân: $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 1 } { 3 } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ dv=dx \end{array} \right.\, $, ta chọn $ \left \{ \begin{array}{l} du=f'\left ( { x } \right )dx \\ v=x-1 \end{array} \right. $
Khi đó: $ I=\left ( { x-1 } \right )f\left ( { x } \right )\left | { 1 \\ 0 } \right .\,-\,\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx } $
$ \Rightarrow -\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 1 } { 3 }\,\,\Leftrightarrow -\,\,\int _{ 0 }^{ 1 } { 2\left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 2 } { 3 }\,\,\left ( { 2 } \right ) $
Ta lại có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } dx }=\frac { 1 } { 3 }\,\,\left ( { 3 } \right ) $
Cộng vế với vế của $ \left ( { 1 } \right ),\,\,\left ( { 2 } \right ) $ và $ \left ( { 3 } \right ) $ ta được:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } -2\left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right )+\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } \right]dx=\frac { 1 } { 3 }-\frac { 2 } { 3 }+\frac { 1 } { 3 }=0 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-\left ( { x-1 } \right ) \right] ^ { 2 } dx }=0 $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=x-1\,,\,\,∀x\in \left[ 0;1 \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { * } \right )\,\, $
Nguyên hàm hai vế của $ \,\left ( { * } \right ) $ ta được:
$ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-x+C $
Mà $ f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-x $
Vậy $ \int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }-x } \right )dx=-\frac { 5 } { 48 } } $.