Bài tập nâng cao · Bài 158
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 158
Cho hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $và thỏa mãn $ \left[ f(x) \right] ^ { 3 } +2f(x)=1-x $với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Tích phân $ \int _{ -2 }^{ 1 } { f(x){ \rm{ d } }x=\frac { a } { b } } $ biết $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } $?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ y=f(x)\Rightarrow y ^ { 3 } +2y=1-x\Rightarrow -y ^ { 3 } -2y+1=x $ do đó d$ x=\left ( { -3y ^ { 2 } -2 } \right ) $d$ y $
Với $ x=-2\Rightarrow -y ^ { 3 } -2y+1=-2\Leftrightarrow -y ^ { 3 } -2y+3=0\Leftrightarrow \left ( { y-1 } \right )\left ( { -y ^ { 2 } -y-3 } \right )=0\Leftrightarrow y=1 $
$ x=1\Rightarrow -y ^ { 3 } -2y+1=1\Leftrightarrow -y ^ { 3 } -2y=0\Leftrightarrow y\left ( { -y ^ { 2 } -2 } \right )=0\Leftrightarrow y=0 $
Do đó $ \int _{ -2 }^{ 1 } { f(x){ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 0 } { y\left ( { -3y ^ { 2 } -2 } \right ){ \rm{ d } }y=\int _{ 0 }^{ 1 } { (3y ^ { 3 } +2y) } } }{ \rm{ d } }y=\left | { \left ( { \frac { 3 } { 4 }y ^ { 4 } +y ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 7 } { 4 } $
Suy ra $ a=7,b=4\Rightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =65 $.
Với $ x=-2\Rightarrow -y ^ { 3 } -2y+1=-2\Leftrightarrow -y ^ { 3 } -2y+3=0\Leftrightarrow \left ( { y-1 } \right )\left ( { -y ^ { 2 } -y-3 } \right )=0\Leftrightarrow y=1 $
$ x=1\Rightarrow -y ^ { 3 } -2y+1=1\Leftrightarrow -y ^ { 3 } -2y=0\Leftrightarrow y\left ( { -y ^ { 2 } -2 } \right )=0\Leftrightarrow y=0 $
Do đó $ \int _{ -2 }^{ 1 } { f(x){ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 0 } { y\left ( { -3y ^ { 2 } -2 } \right ){ \rm{ d } }y=\int _{ 0 }^{ 1 } { (3y ^ { 3 } +2y) } } }{ \rm{ d } }y=\left | { \left ( { \frac { 3 } { 4 }y ^ { 4 } +y ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 7 } { 4 } $
Suy ra $ a=7,b=4\Rightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =65 $.