Bài tập nâng cao · Bài 157
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 157
Cho$ f(x) $xác định và liên tục trên tập số thực thỏa
$ f\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right )+f(-x ^ { 3 } -x-1)=-6x ^ { 6 } -12x ^ { 4 } -6x ^ { 2 } -2,\,∀x\in \mathbb{R} $ Tính $ I=\int _{ -3 }^{ 1 } { f(x)dx }. $
$ f\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right )+f(-x ^ { 3 } -x-1)=-6x ^ { 6 } -12x ^ { 4 } -6x ^ { 2 } -2,\,∀x\in \mathbb{R} $ Tính $ I=\int _{ -3 }^{ 1 } { f(x)dx }. $
Xem lời giải
Lời giải
Nhân cả hai vế phương trình đã cho với $ x ^ { 2 } +1 $ và lấy tích phân ta có
$ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )f\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right ) }dx+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )f(-x ^ { 3 } -x-1)dx }=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )\left ( { -6x ^ { 6 } -12x ^ { 4 } -6x ^ { 2 } -2 } \right )dx= }-40 $
Ta có
$ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )f\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right ) }dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right ) }d\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right )=\int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ) }dt $
$ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )f(-x ^ { 3 } -x-1)dx }=-\int _{ -1 }^{ 1 } { f(-x ^ { 3 } -x-1)d\left ( { -x ^ { 3 } -x-1 } \right ) }=-\int _{ 1 }^{ -3 } { f\left ( { t } \right )dt }=\int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt } $
Do đó ta được $ 2\int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt }=-40\Rightarrow \int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt }=-20 $
$ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )f\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right ) }dx+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )f(-x ^ { 3 } -x-1)dx }=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )\left ( { -6x ^ { 6 } -12x ^ { 4 } -6x ^ { 2 } -2 } \right )dx= }-40 $
Ta có
$ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )f\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right ) }dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { f\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right ) }d\left ( { x ^ { 3 } +x-1 } \right )=\int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ) }dt $
$ \int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +1 } \right )f(-x ^ { 3 } -x-1)dx }=-\int _{ -1 }^{ 1 } { f(-x ^ { 3 } -x-1)d\left ( { -x ^ { 3 } -x-1 } \right ) }=-\int _{ 1 }^{ -3 } { f\left ( { t } \right )dt }=\int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt } $
Do đó ta được $ 2\int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt }=-40\Rightarrow \int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt }=-20 $