Bài tập nâng cao · Bài 156
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 156
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ thoả mãn $ 2f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right )=2x+1 $ và $ f\left ( { 1 } \right )=-3 $. Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2x+1 } \right ){ \rm{ d } }x }=2 $.
Mặt khác $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=2I+\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=2I+\left ( { \left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } \right )=2I+f\left ( { 1 } \right )-I $.
Suy ra: $ I-3=2\Rightarrow I=5 $.
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2x+1 } \right ){ \rm{ d } }x }=2 $.
Mặt khác $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=2I+\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=2I+\left ( { \left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } \right )=2I+f\left ( { 1 } \right )-I $.
Suy ra: $ I-3=2\Rightarrow I=5 $.