Bài tập nâng cao · Bài 155
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 155
Cho $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số liên tục có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right ) $ trên $ \left[ 0;\,1 \right] $, $ f\left ( { 0 } \right )=0 $. Biết $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 3 } $, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=-\frac { 1 } { 3 } } $. Khi đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ -\frac { 1 } { 3 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x= }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { x-1 } \right )= }\left | { f\left ( { x } \right ).\left ( { x-1 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 3 } $.
Mặt khác $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 3 } $.
Khi đó: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )-\left ( { x-1 } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }-2\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }\,+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $.
Vậy $ f'\left ( { x } \right )-\left ( { x-1 } \right )=0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=\left ( { x-1 } \right )\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\int { \left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x=\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }+C } $.
Do $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 }+C=0\Rightarrow C=-\frac { 1 } { 2 } $. Vậy $ f\left ( { x } \right )=\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }-\frac { 1 } { 2 } $.
Khi đó: $ \int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { \left ( { \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }-\frac { 1 } { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 5 } { 48 } $.
$ -\frac { 1 } { 3 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x= }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { x-1 } \right )= }\left | { f\left ( { x } \right ).\left ( { x-1 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 3 } $.
Mặt khác $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 3 } $.
Khi đó: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )-\left ( { x-1 } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }-2\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }\,+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $.
Vậy $ f'\left ( { x } \right )-\left ( { x-1 } \right )=0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=\left ( { x-1 } \right )\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\int { \left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x=\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }+C } $.
Do $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 }+C=0\Rightarrow C=-\frac { 1 } { 2 } $. Vậy $ f\left ( { x } \right )=\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }-\frac { 1 } { 2 } $.
Khi đó: $ \int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { \left ( { \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }-\frac { 1 } { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 5 } { 48 } $.