Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm xác định trên $ \mathbb{R}. $ Biết $ f\left ( { 1 } \right )=2 $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { lnx } { x }f\left ( { 2-lnx } \right ){ \rm{ d } }x }=6. $ Giá trị $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $ 6=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }=\left[ x ^ { 2 } f\left ( { x } ight ) ight]\left | { \begin{array}{l} 1 \ 0 \ \end{array} -2 } ight .\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }=2-2\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }=-2. $ Lại có $ 6=2\int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { lnx } { x }f\left ( { 2-lnx } ight ){ m{ d } }x }\Leftrightarrow I=\int _{ e }^{ e ^ { 2 } } { \frac { lnx } { x }f\left ( { 2-lnx } ight ){ m{ d } }x }=3 $ Đặt $ t=2-lnx\Rightarrow lnx=2-t\Rightarrow \frac { 1 } { x }{ m{ d } }x=-{ m{ d } }t $ Suy ra $ I=-\int _{ 1 }^{ 0 } { \left ( { 2-t } ight )f\left ( { t } ight ) }\,{ m{ d } }t=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }-\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } ight ){ m{ d } }x } $ $ \Leftrightarrow 3=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }+2\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }. $ Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } ight ){ m{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }. $

Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 154