Bài tập nâng cao · Bài 153
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 153
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên khoảng $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ và thỏa mãn $ 2\sqrt[] { x ^ { 5 } }.f\left ( { x ^ { 3 } } \right )-f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=2\sqrt[] { x }.ln\left ( { x+1 } \right ),\,\,∀x\in \left ( { 0;+\infty } \right ) $. Biết $ \int _{ 4 }^{ 64 } { f\left ( { x } \right ).dx }=aln5-6lnb+c $ với $ a,b,c\in \mathbb{R} $. Giá trị $ a-b+c $bằng
Xem lời giải
Lời giải
- Gọi $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của $ f\left ( { x } \right ) $ trên khoảng $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $, khi đó:
$ \int _{ 4 }^{ 64 } { f\left ( { x } \right ).dx }=F\left ( { 64 } \right )-F\left ( { 4 } \right ) $.
- Với mọi $ x>0 $, ta có:
$ 2\sqrt[] { x ^ { 5 } }.f\left ( { x ^ { 3 } } \right )-f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=2\sqrt[] { x }.ln\left ( { x+1 } \right )\Leftrightarrow 3x ^ { 2 } .f\left ( { x ^ { 3 } } \right )-\frac { 3 } { 2\sqrt[] { x } }.f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=3.ln\left ( { x+1 } \right ) $
$ \Rightarrow \int { 3x ^ { 2 } .f\left ( { x ^ { 3 } } \right ).dx }-\int { \frac { 3 } { 2\sqrt[] { x } }.f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right ).dx }=3\int { ln\left ( { x+1 } \right ).dx } $
$ \Rightarrow \int { f\left ( { x ^ { 3 } } \right ).d\left ( { x ^ { 3 } } \right ) }-\int { f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right ).d\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right ) }=3\left ( { \left ( { x+1 } \right ).ln\left ( { x+1 } \right )-x+C } \right ) $
$ \Rightarrow F\left ( { x ^ { 3 } } \right )-F\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=3\left ( { \left ( { x+1 } \right ).ln\left ( { x+1 } \right )-x+C } \right ) $, với $ C $ là hằng số thực.
- Cho $ x=1 $ ta được: $ F\left ( { 1 } \right )-F\left ( { 1 } \right )=3\left ( { 2.ln2-1+C } \right )\Rightarrow C=1-2ln2 $
$ \Rightarrow F\left ( { x ^ { 3 } } \right )-F\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=3\left ( { \left ( { x+1 } \right ).ln\left ( { x+1 } \right )-x+1-2ln2 } \right ) $.
- Cho $ x=4 $ ta được: $ F\left ( { 64 } \right )-F\left ( { 4 } \right )=3\left ( { 5ln5-3-2ln2 } \right )=15ln5-6ln2-9 $
$ \Rightarrow \int _{ 4 }^{ 64 } { f\left ( { x } \right ).dx }=15ln5-6ln2-9\Rightarrow a=15,\,b=2,\,c=-9 $.
Vậy $ a-b+c=4 $.
$ \int _{ 4 }^{ 64 } { f\left ( { x } \right ).dx }=F\left ( { 64 } \right )-F\left ( { 4 } \right ) $.
- Với mọi $ x>0 $, ta có:
$ 2\sqrt[] { x ^ { 5 } }.f\left ( { x ^ { 3 } } \right )-f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=2\sqrt[] { x }.ln\left ( { x+1 } \right )\Leftrightarrow 3x ^ { 2 } .f\left ( { x ^ { 3 } } \right )-\frac { 3 } { 2\sqrt[] { x } }.f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=3.ln\left ( { x+1 } \right ) $
$ \Rightarrow \int { 3x ^ { 2 } .f\left ( { x ^ { 3 } } \right ).dx }-\int { \frac { 3 } { 2\sqrt[] { x } }.f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right ).dx }=3\int { ln\left ( { x+1 } \right ).dx } $
$ \Rightarrow \int { f\left ( { x ^ { 3 } } \right ).d\left ( { x ^ { 3 } } \right ) }-\int { f\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right ).d\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right ) }=3\left ( { \left ( { x+1 } \right ).ln\left ( { x+1 } \right )-x+C } \right ) $
$ \Rightarrow F\left ( { x ^ { 3 } } \right )-F\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=3\left ( { \left ( { x+1 } \right ).ln\left ( { x+1 } \right )-x+C } \right ) $, với $ C $ là hằng số thực.
- Cho $ x=1 $ ta được: $ F\left ( { 1 } \right )-F\left ( { 1 } \right )=3\left ( { 2.ln2-1+C } \right )\Rightarrow C=1-2ln2 $
$ \Rightarrow F\left ( { x ^ { 3 } } \right )-F\left ( { 3\sqrt[] { x }-2 } \right )=3\left ( { \left ( { x+1 } \right ).ln\left ( { x+1 } \right )-x+1-2ln2 } \right ) $.
- Cho $ x=4 $ ta được: $ F\left ( { 64 } \right )-F\left ( { 4 } \right )=3\left ( { 5ln5-3-2ln2 } \right )=15ln5-6ln2-9 $
$ \Rightarrow \int _{ 4 }^{ 64 } { f\left ( { x } \right ).dx }=15ln5-6ln2-9\Rightarrow a=15,\,b=2,\,c=-9 $.
Vậy $ a-b+c=4 $.