Bài tập nâng cao · Bài 152
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 152
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm và đồng biến trên $ \left[ 1;4 \right], $ thoả mãn $ x+2xf\left ( { x } \right )=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } $ với mọi $ x\in \left[ 1;4 \right]. $ Biết rằng $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 2 }, $tính tích phân $ I=\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ) }dx $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ x+2xf\left ( { x } \right )=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } $
$ \Leftrightarrow x\left ( { 1+2f\left ( { x } \right ) } \right )=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } $
$ \Leftrightarrow \sqrt[] { x }\sqrt[] { 1+2f\left ( { x } \right ) }=f'\left ( { x } \right ) $ (do $ f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left[ 1;4 \right] $ và $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 2 } $>0 nên $ f\left ( { x } \right )>0,∀x\in \left[ 1;4 \right] $)
$ \Leftrightarrow \int \left ( { \sqrt[] { 1+2f\left ( { x } \right ) } } \right )' dx=\int \sqrt[] { x }dx $
$ \Leftrightarrow \sqrt[] { 1+2f\left ( { x } \right ) }=\frac { 2 } { 3 }x ^ { \frac { 3 } { 2 } } +C. $
Thay$ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow C=\frac { 4 } { 3 }. $
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { 2 } { 3 }x ^ { \frac { 3 } { 2 } } +\frac { 4 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } -1\Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 1186 } { 45 }. $
$ \Leftrightarrow x\left ( { 1+2f\left ( { x } \right ) } \right )=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } $
$ \Leftrightarrow \sqrt[] { x }\sqrt[] { 1+2f\left ( { x } \right ) }=f'\left ( { x } \right ) $ (do $ f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left[ 1;4 \right] $ và $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 2 } $>0 nên $ f\left ( { x } \right )>0,∀x\in \left[ 1;4 \right] $)
$ \Leftrightarrow \int \left ( { \sqrt[] { 1+2f\left ( { x } \right ) } } \right )' dx=\int \sqrt[] { x }dx $
$ \Leftrightarrow \sqrt[] { 1+2f\left ( { x } \right ) }=\frac { 2 } { 3 }x ^ { \frac { 3 } { 2 } } +C. $
Thay$ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow C=\frac { 4 } { 3 }. $
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { 2 } { 3 }x ^ { \frac { 3 } { 2 } } +\frac { 4 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } -1\Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 1186 } { 45 }. $