Bài tập nâng cao · Bài 151
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 151
Cho hàm số $ y=f(x) $liên tục trên tập số thực thỏa mãn
$ f(x)+(5x-2)f\left ( { 5x ^ { 2 } -4x } \right )=50x ^ { 3 } -60x ^ { 2 } +23x-1∀x\in R $. Giá trị của biểu thức $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $ bằng
$ f(x)+(5x-2)f\left ( { 5x ^ { 2 } -4x } \right )=50x ^ { 3 } -60x ^ { 2 } +23x-1∀x\in R $. Giá trị của biểu thức $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { (50x ^ { 3 } -60x ^ { 2 } +23x-1)dx }-\int _{ 0 }^{ 1 } { (5x-2)f(5x ^ { 2 } -4x)dx } }=3-\int _{ 0 }^{ 1 } { (5x-2)f(5x ^ { 2 } -4x)dx } $ (1)
Xét tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { (5x-2)f(5x ^ { 2 } -4x)dx } $:
Đặt $ t=5x ^ { 2 } -4x $ thì $ dt=(5.2x-4)dx=2(5x-2)dx $
Khi $ x=1 $thì $ t=1 $
Khi $ x=0 $thì $ t=0 $
Suy ra:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { (5x-2)f(5x ^ { 2 } -4x)dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(t)dt }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $
Thay vào (1) ta được:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=3-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } \\ \Leftrightarrow \frac { 3 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=3 \\ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=2 $
Xét tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { (5x-2)f(5x ^ { 2 } -4x)dx } $:
Đặt $ t=5x ^ { 2 } -4x $ thì $ dt=(5.2x-4)dx=2(5x-2)dx $
Khi $ x=1 $thì $ t=1 $
Khi $ x=0 $thì $ t=0 $
Suy ra:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { (5x-2)f(5x ^ { 2 } -4x)dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(t)dt }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $
Thay vào (1) ta được:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=3-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } \\ \Leftrightarrow \frac { 3 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=3 \\ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=2 $