Bài tập nâng cao · Bài 150
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 150
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f^3(x)+f(x)=x$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Tính $\int_0^2f(x)\,dx$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right )dx }=\left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { f ^ { 3 } \left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right ) } \right ) }f'\left ( { x } \right )dx \\ =2f\left ( { 2 } \right )-\left | { \left ( { \frac { f ^ { 4 } \left ( { x } \right ) } { 4 }+\frac { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 } $
Mặt khác: $ \left \{ \begin{array}{l} f ^ { 3 } \left ( { 2 } \right )+f\left ( { 2 } \right )=2\Rightarrow f\left ( { 2 } \right )=1 \\ f ^ { 3 } \left ( { 0 } \right )+f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow f\left ( { 0 } \right )=0 \end{array} \right. $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx= }2-\left | { \left ( { \frac { f ^ { 4 } \left ( { x } \right ) } { 4 }+\frac { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 4 } $.
$ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right )dx }=\left | { xf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }-\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { f ^ { 3 } \left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right ) } \right ) }f'\left ( { x } \right )dx \\ =2f\left ( { 2 } \right )-\left | { \left ( { \frac { f ^ { 4 } \left ( { x } \right ) } { 4 }+\frac { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 } $
Mặt khác: $ \left \{ \begin{array}{l} f ^ { 3 } \left ( { 2 } \right )+f\left ( { 2 } \right )=2\Rightarrow f\left ( { 2 } \right )=1 \\ f ^ { 3 } \left ( { 0 } \right )+f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow f\left ( { 0 } \right )=0 \end{array} \right. $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx= }2-\left | { \left ( { \frac { f ^ { 4 } \left ( { x } \right ) } { 4 }+\frac { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 4 } $.