Bài tập nâng cao · Bài 149
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 149
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên khoảng $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )=x\left[ sinx+f'\left ( { x } \right ) \right]+cosx $ và $ f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=\frac { \pi } { 2 } $. Giá trị của $ f\left ( { \pi } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ f\left ( { x } \right )=x\left[ sinx+f'\left ( { x } \right ) \right]+cosx,\,\,∀x>0 $
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )-x\,f'\left ( { x } \right )=xsinx+cosx,\,\,\,∀x>0 $
$ \Leftrightarrow \frac { f\left ( { x } \right )-x\,f'\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=\frac { xsinx+cosx } { x ^ { 2 } },\,\,\,∀x>0 $
$ \Leftrightarrow \frac { x\,f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=\frac { -xsinx-cosx } { x ^ { 2 } },\,\,\,∀x>0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } \right] ^ { ' } =\left ( { \frac { cosx } { x } } \right ) ^ { ' } ,\,\,\,∀x>0 $ (1)
Lấy tích phân hai vế của (1) từ $ \frac { \pi } { 2 } $ đến $ \pi $, ta được
$ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \left[ \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } \right] ^ { ' } }{ \rm{ d } }x=\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \left ( { \frac { cosx } { x } } \right ) ^ { ' } }{ \rm{ d } }x $$ \Rightarrow $$ \frac { f\left ( { \pi } \right ) } { \pi }-\frac { f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right ) } { \frac { \pi } { 2 } }=\frac { cos\pi } { \pi }-\frac { cos\frac { \pi } { 2 } } { \frac { \pi } { 2 } } $$ \Rightarrow $$ f\left ( { \pi } \right )=-1+\pi $
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )-x\,f'\left ( { x } \right )=xsinx+cosx,\,\,\,∀x>0 $
$ \Leftrightarrow \frac { f\left ( { x } \right )-x\,f'\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=\frac { xsinx+cosx } { x ^ { 2 } },\,\,\,∀x>0 $
$ \Leftrightarrow \frac { x\,f'\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=\frac { -xsinx-cosx } { x ^ { 2 } },\,\,\,∀x>0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } \right] ^ { ' } =\left ( { \frac { cosx } { x } } \right ) ^ { ' } ,\,\,\,∀x>0 $ (1)
Lấy tích phân hai vế của (1) từ $ \frac { \pi } { 2 } $ đến $ \pi $, ta được
$ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \left[ \frac { f\left ( { x } \right ) } { x } \right] ^ { ' } }{ \rm{ d } }x=\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \left ( { \frac { cosx } { x } } \right ) ^ { ' } }{ \rm{ d } }x $$ \Rightarrow $$ \frac { f\left ( { \pi } \right ) } { \pi }-\frac { f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right ) } { \frac { \pi } { 2 } }=\frac { cos\pi } { \pi }-\frac { cos\frac { \pi } { 2 } } { \frac { \pi } { 2 } } $$ \Rightarrow $$ f\left ( { \pi } \right )=-1+\pi $