Bài tập nâng cao · Bài 148
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 148
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \left[ 0;1 \right] $ và thỏa mãn $ 2f\left ( { x } \right )+3f\left ( { 1-x } \right )=\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } $ với mọi $ x\in \left[ 0;1 \right] $. Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ 2f\left ( { x } \right )+3f\left ( { 1-x } \right )=\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2f\left ( { x } \right )+3f\left ( { 1-x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $.
Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2f\left ( { x } \right )+3f\left ( { 1-x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x } $;
$ =2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { 1-x } \right ) }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { x } \right ) }=5\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
+) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $ là diện tích của một phần tư hình tròn có bán kính bằng $ 1 $ nên $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 }\pi $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 20 } $.
Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 2f\left ( { x } \right )+3f\left ( { 1-x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x } $;
$ =2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { 1-x } \right ) }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { x } \right ) }=5\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
+) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $ là diện tích của một phần tư hình tròn có bán kính bằng $ 1 $ nên $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 }\pi $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 20 } $.