Bài tập nâng cao · Bài 147
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 147
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thảo mãn $ sinx\,f\left ( { cosx } \right )+\,cosx\,f\left ( { sinx } \right )=sin2x-\frac { 1 } { 3 }sin ^ { 3 } 2x $ với $ ∀x\in \mathbb{R} $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
$ sinx\,f\left ( { cosx } \right )+\,cosx\,f\left ( { sinx } \right )=sin2x-\frac { 1 } { 3 }sin ^ { 3 } 2x $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sinx\,f\left ( { cosx } \right ){ \rm{ d } }x }+\,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cosx\,f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x }=\,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { sin2x-\frac { 1 } { 3 }sin ^ { 3 } 2x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow -\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \,f\left ( { cosx } \right ){ \rm{ d } }\left ( { cosx } \right ) }+\,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }\left ( { sinx } \right ) }=-\frac { 1 } { 2 }\,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { 1-\frac { 1-cos ^ { 2 } 2x } { 3 } } \right ){ \rm{ d } }\left ( { cos2x } \right ) } $.
$ \Rightarrow -\int _{ 1 }^{ 0 } { \,f\left ( { t } \right ) }\,{ \rm{ d } }t+\,\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { u } \right )\, }{ \rm{ d } }u=\left | { -\frac { 1 } { 2 }\,\left ( { \frac { 2 } { 3 }cos2x+\frac { cos ^ { 3 } 2x } { 9 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \,f\left ( { t } \right ) }\,{ \rm{ d } }t+\,\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { u } \right )\, }{ \rm{ d } }u=-\frac { 1 } { 2 }\left[ \left ( { -\frac { 2 } { 3 }+\frac { -1 } { 9 } } \right )-\left ( { \frac { 2 } { 3 }+\frac { 1 } { 9 } } \right ) \right] $
$ \Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ 1 } { \,f\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x=\frac { 7 } { 9 }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \,f\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x=\frac { 7 } { 18 } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sinx\,f\left ( { cosx } \right ){ \rm{ d } }x }+\,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cosx\,f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x }=\,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { sin2x-\frac { 1 } { 3 }sin ^ { 3 } 2x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow -\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \,f\left ( { cosx } \right ){ \rm{ d } }\left ( { cosx } \right ) }+\,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }\left ( { sinx } \right ) }=-\frac { 1 } { 2 }\,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { 1-\frac { 1-cos ^ { 2 } 2x } { 3 } } \right ){ \rm{ d } }\left ( { cos2x } \right ) } $.
$ \Rightarrow -\int _{ 1 }^{ 0 } { \,f\left ( { t } \right ) }\,{ \rm{ d } }t+\,\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { u } \right )\, }{ \rm{ d } }u=\left | { -\frac { 1 } { 2 }\,\left ( { \frac { 2 } { 3 }cos2x+\frac { cos ^ { 3 } 2x } { 9 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \,f\left ( { t } \right ) }\,{ \rm{ d } }t+\,\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { u } \right )\, }{ \rm{ d } }u=-\frac { 1 } { 2 }\left[ \left ( { -\frac { 2 } { 3 }+\frac { -1 } { 9 } } \right )-\left ( { \frac { 2 } { 3 }+\frac { 1 } { 9 } } \right ) \right] $
$ \Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ 1 } { \,f\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x=\frac { 7 } { 9 }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \,f\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x=\frac { 7 } { 18 } $