Bài tập nâng cao · Bài 146
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 146
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 1\,;\,2 \right] $ thỏa mãn $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right )dx=-\frac { 1 } { 3 } } $, $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ và $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } dx=7 } $. Tính tích phân $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx } $.
Xem lời giải
Lời giải
$ -\frac { 1 } { 3 }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right )dx= }\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )d\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } = }\frac { 1 } { 3 }\left[ \left | { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )dx } \right] =-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )dx } $$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )dx }=1\,\,\left ( { 1 } \right ) $
Ta có $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } \right] ^ { 2 } dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } dx }-14\int _{ 1 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right )\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } dx+49 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } dx }=0 $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=7\int { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } }dx=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }+C $.
Mà $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ nên $ C=-\frac { 7 } { 4 } $. Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 7 } { 4 } $.
Vậy $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 7 } { 4 } \right]dx }=-\frac { 7 } { 5 } $.
Ta có $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } \right] ^ { 2 } dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } dx }-14\int _{ 1 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right )\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } dx+49 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } dx }=0 $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=7\int { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } }dx=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }+C $.
Mà $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ nên $ C=-\frac { 7 } { 4 } $. Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 7 } { 4 } $.
Vậy $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 7 } { 4 } \right]dx }=-\frac { 7 } { 5 } $.