Bài tập nâng cao · Bài 145
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 145
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $. Biết $ f\left ( { 4x } \right )=f\left ( { x } \right )+4x ^ { 3 } +2x $ và $ f\left ( { 0 } \right )=2 $. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ f\left ( { 4x } \right )=f\left ( { x } \right )+4x ^ { 3 } +2x $$ \Rightarrow f\left ( { 4x } \right )-f\left ( { x } \right )=4x ^ { 3 } +2x $ $ \left ( { 1 } \right ) $.
Suy ra: $ f\left ( { x } \right ) $ và $ f\left ( { 4x } \right ) $ là hàm số bậc ba.
Khi đó: $ f\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d\left ( { a\neq 0 } \right ) $ và $ f\left ( { 4x } \right )=64ax ^ { 3 } +16bx ^ { 2 } +4cx+d $.
Ta có: $ f\left ( { 4x } \right )-f\left ( { x } \right )=63ax ^ { 3 } +15bx ^ { 2 } +3cx $ $ \left ( { 2 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ ta suy ra: $ \left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 4 } { 63 } \\ b=0 \\ c=\frac { 2 } { 3 } \end{array} \right. $. Mặt khác: vì $ f\left ( { 0 } \right )=2 $ nên $ d=2 $.
Do đó, $ f\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } +\frac { 2 } { 3 }x+2 $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } +\frac { 2 } { 3 }x+2 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 352 } { 63 } $.
* Chứng minh $ f\left ( { x } \right ) $ là duy nhất.
Ta có: $ f\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } +\frac { 2 } { 3 }x+2 $ và $ f\left ( { 4x } \right )=\frac { 256 } { 63 }x ^ { 3 } +\frac { 8 } { 3 }x+2 $; $ f\left ( { 4x } \right )-f\left ( { x } \right )=4x ^ { 3 } +2x $.
Suy ra: $ f\left ( { 4x } \right )-\frac { 4 } { 63 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }\left ( { 4x } \right )=f\left ( { x } \right )-\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }x $.
Đặt $ g\left ( { 4x } \right )=f\left ( { 4x } \right )-\frac { 4 } { 63 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }\left ( { 4x } \right ) $ và $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }x $.
Ta có: $ g\left ( { 4x } \right )=g\left ( { x } \right ) $; $ g\left ( { 0 } \right )=f\left ( { 0 } \right )=2 $.
Suy ra: $ g\left ( { x } \right )=g\left ( { \frac { x } { 4 } } \right )=g\left ( { \frac { x } { 4 ^ { 2 } } } \right )=...=g\left ( { \frac { x } { 4 ^ { n } } } \right ),n\in \mathbb{N} ^ { * } $
Khi $ n\to +\infty $ suy ra $ g\left ( { x } \right )=g\left ( { 0 } \right )=2 $.
Vậy $ f\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }x+2,∀x $.
Suy ra: $ f\left ( { x } \right ) $ và $ f\left ( { 4x } \right ) $ là hàm số bậc ba.
Khi đó: $ f\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d\left ( { a\neq 0 } \right ) $ và $ f\left ( { 4x } \right )=64ax ^ { 3 } +16bx ^ { 2 } +4cx+d $.
Ta có: $ f\left ( { 4x } \right )-f\left ( { x } \right )=63ax ^ { 3 } +15bx ^ { 2 } +3cx $ $ \left ( { 2 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ ta suy ra: $ \left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 4 } { 63 } \\ b=0 \\ c=\frac { 2 } { 3 } \end{array} \right. $. Mặt khác: vì $ f\left ( { 0 } \right )=2 $ nên $ d=2 $.
Do đó, $ f\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } +\frac { 2 } { 3 }x+2 $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } +\frac { 2 } { 3 }x+2 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 352 } { 63 } $.
* Chứng minh $ f\left ( { x } \right ) $ là duy nhất.
Ta có: $ f\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } +\frac { 2 } { 3 }x+2 $ và $ f\left ( { 4x } \right )=\frac { 256 } { 63 }x ^ { 3 } +\frac { 8 } { 3 }x+2 $; $ f\left ( { 4x } \right )-f\left ( { x } \right )=4x ^ { 3 } +2x $.
Suy ra: $ f\left ( { 4x } \right )-\frac { 4 } { 63 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }\left ( { 4x } \right )=f\left ( { x } \right )-\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }x $.
Đặt $ g\left ( { 4x } \right )=f\left ( { 4x } \right )-\frac { 4 } { 63 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }\left ( { 4x } \right ) $ và $ g\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }x $.
Ta có: $ g\left ( { 4x } \right )=g\left ( { x } \right ) $; $ g\left ( { 0 } \right )=f\left ( { 0 } \right )=2 $.
Suy ra: $ g\left ( { x } \right )=g\left ( { \frac { x } { 4 } } \right )=g\left ( { \frac { x } { 4 ^ { 2 } } } \right )=...=g\left ( { \frac { x } { 4 ^ { n } } } \right ),n\in \mathbb{N} ^ { * } $
Khi $ n\to +\infty $ suy ra $ g\left ( { x } \right )=g\left ( { 0 } \right )=2 $.
Vậy $ f\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { 63 }x ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }x+2,∀x $.