Bài tập nâng cao · Bài 144
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 144
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 0\,;\,1 \right] $ thỏa mãn $ 6x ^ { 2 } f\left ( { x ^ { 3 } } \right )+4f\left ( { 1-x } \right )=3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } $. Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết $ 6x ^ { 2 } f\left ( { x ^ { 3 } } \right )+4f\left ( { 1-x } \right )=3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } $, lấy tích phân từ 0 đến 1 của 2 vế ta được
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { 6x ^ { 2 } f\left ( { x ^ { 3 } } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { 4f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $
Đặt $ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { 6x ^ { 2 } f\left ( { x ^ { 3 } } \right ){ \rm{ d } }x } $, $ I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { 4f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x } $, $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $.
+) Đặt $ t=x ^ { 3 } $ ta được $ I_{ 1 } =2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
+) Đặt $ v=1-x $ ta được $ I_{ 2 } =4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { v } \right ){ \rm{ d } }v }=4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Từ đó ta được $ I=6\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
+) Đặt $ u=sinx $ ta được $ I=\frac { 3\pi } { 4 } $, suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 8 } $.
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { 6x ^ { 2 } f\left ( { x ^ { 3 } } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { 4f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $
Đặt $ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { 6x ^ { 2 } f\left ( { x ^ { 3 } } \right ){ \rm{ d } }x } $, $ I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { 4f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x } $, $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $.
+) Đặt $ t=x ^ { 3 } $ ta được $ I_{ 1 } =2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
+) Đặt $ v=1-x $ ta được $ I_{ 2 } =4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { v } \right ){ \rm{ d } }v }=4\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Từ đó ta được $ I=6\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
+) Đặt $ u=sinx $ ta được $ I=\frac { 3\pi } { 4 } $, suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 8 } $.