Cho hàm số $ g\left ( { x } \right )=\left ( { 2x-3 } \right )\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } $ với $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $. Biết $ g'\left ( { 1 } \right )=3\,;\,\,\,f'\left ( { 1 } \right )=4 $. Tính giá trị của $ g\left ( { 1 } \right ) $.

Lời giải Ta có: $$ g'(x) = (2x - 3)' \cdot \sqrt{f(x)} + (2x - 3) \cdot (\sqrt{f(x)})' $$ $$ = 2\sqrt{f(x)} + (2x - 3) \cdot \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} $$ Do $g'(1) = 3$ và $f'(1) = 4$ nên: $$ g'(1) = 2\sqrt{f(1)} + (2 \cdot 1 - 3) \cdot \frac{f'(1)}{2\sqrt{f(1)}} $$ $$ \Leftrightarrow 3 = 2\sqrt{f(1)} - \frac{4}{2\sqrt{f(1)}} \Leftrightarrow 3 = 2\sqrt{f(1)} - \frac{2}{\sqrt{f(1)}} $$ Đặt $t = \sqrt{f(1)}$ ($t > 0$), phương trình trở thành: $$ 3 = 2t - \frac{2}{t} \Leftrightarrow 2t^2 - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 2 \quad \text{(nhận)} \\ t = -\frac{1}{2} \quad \text{(loại)} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt{f(1)} = 2 $$ Vậy $g(1) = (2 \cdot 1 - 3)\sqrt{f(1)} = -2$.