Bài tự luận · Bài 9
Dạng 1. Xác định giới hạn của dãy số
Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 9
(CTST11) Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim \left( n^2 +3n-5 \right)$;
b) $\lim \frac{n^2 +7}{1-2n}$
c) $\lim \left( 3^n -2^n \right)$.
a) $\lim \left( n^2 +3n-5 \right)$;
b) $\lim \frac{n^2 +7}{1-2n}$
c) $\lim \left( 3^n -2^n \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $n^2 +3n-5=n^2 \left( 1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2} \right)$
Ta có $\lim n^2 =+\infty$ và $\lim \left( 1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2} \right)=\lim 1+\lim \frac{3}{n}-\lim \frac{5}{n^2}=1+0-0=1$.
Suy ra $\lim \left( n^2 +3n-5 \right)=\lim \left[ n^2 \left( 1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2} \right) \right]=+\infty$
b) $\frac{n^2 +7}{1-2n}=\frac{n^2 \left( 1+\frac{7}{n^2} \right)}{n\left( \frac{1}{n}-2 \right)}=n\cdot \frac{1+\frac{7}{n^2}}{\frac{1}{n}-2}$
Ta có $\lim n=+\infty$ và $\lim \frac{1+\frac{7}{n^2}}{\frac{1}{n}-2}=\frac{\lim 1+\lim \frac{7}{n^2}}{\lim \frac{1}{n}-\lim 2}=\frac{1+0}{0-2}=-\frac{1}{2}$.
Suy ra $\lim \frac{n^2 +7}{1-2n}=\lim \left[ n\cdot \frac{1+\frac{7}{n^2}}{\frac{1}{n}-2} \right]=-\infty$
c) $3^n -2^n =3^n \left( 1-\frac{2^n}{3^n} \right)=3^n \left[ 1-\left( \frac{2}{3} \right)^n \right]$
Ta có $\lim 3^n =+\infty$ và $\lim \left[ 1-\left( \frac{2}{3} \right)^n \right]=1-\lim \left( \frac{2}{3} \right)^n =1-0=1$.
Suy ra $\lim \left( 3^n -2^n \right)=\lim \left\{3^n \left[ 1-\left( \frac{2}{3} \right)^n \right] \right\}=+\infty$
Ta có $\lim n^2 =+\infty$ và $\lim \left( 1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2} \right)=\lim 1+\lim \frac{3}{n}-\lim \frac{5}{n^2}=1+0-0=1$.
Suy ra $\lim \left( n^2 +3n-5 \right)=\lim \left[ n^2 \left( 1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2} \right) \right]=+\infty$
b) $\frac{n^2 +7}{1-2n}=\frac{n^2 \left( 1+\frac{7}{n^2} \right)}{n\left( \frac{1}{n}-2 \right)}=n\cdot \frac{1+\frac{7}{n^2}}{\frac{1}{n}-2}$
Ta có $\lim n=+\infty$ và $\lim \frac{1+\frac{7}{n^2}}{\frac{1}{n}-2}=\frac{\lim 1+\lim \frac{7}{n^2}}{\lim \frac{1}{n}-\lim 2}=\frac{1+0}{0-2}=-\frac{1}{2}$.
Suy ra $\lim \frac{n^2 +7}{1-2n}=\lim \left[ n\cdot \frac{1+\frac{7}{n^2}}{\frac{1}{n}-2} \right]=-\infty$
c) $3^n -2^n =3^n \left( 1-\frac{2^n}{3^n} \right)=3^n \left[ 1-\left( \frac{2}{3} \right)^n \right]$
Ta có $\lim 3^n =+\infty$ và $\lim \left[ 1-\left( \frac{2}{3} \right)^n \right]=1-\lim \left( \frac{2}{3} \right)^n =1-0=1$.
Suy ra $\lim \left( 3^n -2^n \right)=\lim \left\{3^n \left[ 1-\left( \frac{2}{3} \right)^n \right] \right\}=+\infty$