Bài tập nâng cao · Bài 23
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG Sử dụng định nghĩa $ \overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }=\left | { \overset\rightarrow { a } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |cos\left ( { \overset\rightarrow { a },\overset\rightarrow { b } } \right ) $ Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành… Tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $ AB ^ { 2 } =\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } $
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 23
Cho tam giác $ABC$, trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta có $MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$MA^2+MB^2+MC^2=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})^2+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})^2$
$=3MG^2+2\overrightarrow{MG}\cdot(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+GA^2+GB^2+GC^2$
$=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$.
Nhận xét:
a) Điểm có tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác nhỏ nhất chính là trọng tâm của tam giác.
b) Nếu tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ thì $3(R^2-OG^2)=GA^2+GB^2+GC^2$ (với $M\equiv O$).
$MA^2+MB^2+MC^2=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})^2+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})^2$
$=3MG^2+2\overrightarrow{MG}\cdot(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+GA^2+GB^2+GC^2$
$=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$.
Nhận xét:
a) Điểm có tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác nhỏ nhất chính là trọng tâm của tam giác.
b) Nếu tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ thì $3(R^2-OG^2)=GA^2+GB^2+GC^2$ (với $M\equiv O$).