Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh với điểm $M$ bất kỳ ta luôn có $MG^2=\dfrac13(MA^2+MB^2+MC^2)-\dfrac19(AB^2+BC^2+CA^2)$.

Question

DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG Sử dụng định nghĩa $ \overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }=\left | { \overset\rightarrow { a } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |cos\left ( { \overset\rightarrow { a },\overset\rightarrow { b } } \right ) $ Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành… Tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $ AB ^ { 2 } =\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } $ Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh với điểm $M$ bất kỳ ta luôn có $MG^2=\dfrac13(MA^2+MB^2+MC^2)-\dfrac19(AB^2+BC^2+CA^2)$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Theo tính chất trọng tâm, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$. Suy ra $9MG^2=MA^2+MB^2+MC^2+2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}$ $=MA^2+MB^2+MC^2+(MA^2+MB^2-AB^2)+(MB^2+MC^2-BC^2)+(MA^2+MC^2-AC^2)$ $=3(MA^2+MB^2+MC^2)-(AB^2+BC^2+CA^2)$. Vậy $MG^2=\dfrac13(MA^2+MB^2+MC^2)-\dfrac19(AB^2+BC^2+CA^2)$.

Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 24