Bài tập nâng cao · Bài 27
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG Sử dụng định nghĩa $ \overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }=\left | { \overset\rightarrow { a } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |cos\left ( { \overset\rightarrow { a },\overset\rightarrow { b } } \right ) $ Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành… Tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $ AB ^ { 2 } =\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } $
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 27
Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$.
a) Chứng minh $MA^2+MB^2+MC^2=6R^2$ khi và chỉ khi $M$ thuộc $(O)$.
b) Chứng minh với mọi điểm $M$: $AM^2+2MB^2-3MC^2=2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC})$.
a) Chứng minh $MA^2+MB^2+MC^2=6R^2$ khi và chỉ khi $M$ thuộc $(O)$.
b) Chứng minh với mọi điểm $M$: $AM^2+2MB^2-3MC^2=2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC})$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì tam giác $ABC$ đều nên $O$ cũng là trọng tâm của tam giác, do đó ta có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow0$.
$\overrightarrow{MA}^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2=\overrightarrow{MO}^2+\overrightarrow{OA}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OA}$.
$\overrightarrow{MB}^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2=\overrightarrow{MO}^2+\overrightarrow{OB}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OB}$.
$\overrightarrow{MC}^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2=\overrightarrow{MO}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OC}$.
$\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2=3\overrightarrow{MO}^2+\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$
$\Leftrightarrow MA^2+MB^2+MC^2=3MO^2+3R^2$.
$MA^2+MB^2+MC^2=6R^2\Leftrightarrow3MO^2+3R^2=6R^2\Leftrightarrow MO^2=R^2\Leftrightarrow MO=R\Leftrightarrow M$ thuộc đường tròn $(O)$.
b) $MA^2+2MB^2-3MC^2=\overrightarrow{MA}^2+2\overrightarrow{MB}^2-3\overrightarrow{MC}^2$
$=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2-3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2$
$=(\overrightarrow{MO}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}^2)+2(\overrightarrow{MO}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}^2)-3(\overrightarrow{MO}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}^2)$
$=2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC})$
$=2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{OM}-3\overrightarrow{MC})$
$=2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC})$ (đpcm).
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow0$.
$\overrightarrow{MA}^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2=\overrightarrow{MO}^2+\overrightarrow{OA}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OA}$.
$\overrightarrow{MB}^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2=\overrightarrow{MO}^2+\overrightarrow{OB}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OB}$.
$\overrightarrow{MC}^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2=\overrightarrow{MO}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OC}$.
$\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2=3\overrightarrow{MO}^2+\overrightarrow{OA}^2+\overrightarrow{OB}^2+\overrightarrow{OC}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$
$\Leftrightarrow MA^2+MB^2+MC^2=3MO^2+3R^2$.
$MA^2+MB^2+MC^2=6R^2\Leftrightarrow3MO^2+3R^2=6R^2\Leftrightarrow MO^2=R^2\Leftrightarrow MO=R\Leftrightarrow M$ thuộc đường tròn $(O)$.
b) $MA^2+2MB^2-3MC^2=\overrightarrow{MA}^2+2\overrightarrow{MB}^2-3\overrightarrow{MC}^2$
$=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2-3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2$
$=(\overrightarrow{MO}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}^2)+2(\overrightarrow{MO}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}^2)-3(\overrightarrow{MO}^2+2\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}^2)$
$=2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC})$
$=2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{OM}-3\overrightarrow{MC})$
$=2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC})$ (đpcm).