Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 21
Cho $a>2$. Xét dãy $\left( U_n \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l} u_1 = a^{2} \\ u_{n+1} = \left( u_n-a \right)^{2} \forall n\in N* \end{array} \right.$. Xét tính đơn điệu của dãy $\left( U_n \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $u_1 = a^{2}>2a$ (do $a>2$)
Giả sử $u_k>2a$ khi đó $u_k-a>a\Rightarrow u_{k+1} = \left( u_k-a \right)^{2}>a^{2}>2a$. Vậy $u_n>2a; \forall n\in N*$
$u_{n+1}-u_n = \left( u_n-a \right)^{2}-u_n = u_n^{2}-\left( 2a+1 \right)u_n+a^{2}$
$= \left( u_n-2a \right)\left( u_n-1 \right)+\left( a^{2}-2a \right)>0; \forall n\in N*$ $\Rightarrow \left( u_n \right)$ đơn điệu tăng.
Giả sử $u_k>2a$ khi đó $u_k-a>a\Rightarrow u_{k+1} = \left( u_k-a \right)^{2}>a^{2}>2a$. Vậy $u_n>2a; \forall n\in N*$
$u_{n+1}-u_n = \left( u_n-a \right)^{2}-u_n = u_n^{2}-\left( 2a+1 \right)u_n+a^{2}$
$= \left( u_n-2a \right)\left( u_n-1 \right)+\left( a^{2}-2a \right)>0; \forall n\in N*$ $\Rightarrow \left( u_n \right)$ đơn điệu tăng.