Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 20
Cho dãy số $\left( a_n \right)$ định bởi:$\left\{ \begin{array}{l} 0<a_n<1; \forall n\in N* \\ a_{n+1}\left( 1-a_n \right)\geq \frac{1}{4}; \forall n\in N* \end{array} \right.$
a). Chứng minh: $a_n>\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}, \forall n\in N*\left( 1 \right)$
b). Xét tính đơn điệu của dãy số $\left( a_n \right)$.
a). Chứng minh: $a_n>\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}, \forall n\in N*\left( 1 \right)$
b). Xét tính đơn điệu của dãy số $\left( a_n \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có: $0<a_n<1\Rightarrow a_1>0 = \frac{1}{2}-\frac{1}{2.1}:\left( 1 \right)$ đúng khi n=1
Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng khi n=k$\in N*$, nghĩa là: $a_k>\frac{1}{2}-\frac{1}{2k};k\in N*$
Ta cần chứng minh $\left( 1 \right)$đúng khi $n=k+1$, nghĩa là chứng minh: $a_{k+1}>\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left( k+1 \right)};k\in N*$
Ta có: $a_k>\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}$
$\Rightarrow -a_k<-\frac{1}{2}+\frac{1}{2k}\Rightarrow 1-a_k<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2k} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2k} = \frac{k+1}{2k}\Rightarrow \frac{1}{1-a_k}>\frac{2k}{k+1}$
Theo giả thiết: $a_{k+1}\left( 1-a_k \right)\geq \frac{1}{4}$
$\Rightarrow a_{k+1}\geq \frac{1}{4\left( 1-a_k \right)}>\frac{2k}{4\left( k+1 \right)} = \frac{\left( 2k+2 \right)-2}{4\left( k+1 \right)} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2\left( k+1 \right)}:\left( 1 \right)$ đúng khi $n=k+1$
Vậy: $a_n>\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}, \forall n\in N*.$
b). Ta có: $a_n^{2}-a_n+\frac{1}{4} = \left( a_n-\frac{1}{2} \right)^{2}\geq 0\Rightarrow a_n\left( a_n-1 \right)+\frac{1}{4}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{4}\geq a_n\left( 1-a_n \right)$
Từ giả thiết suy ra: $a_{n+1}\left( 1-a_n \right)\geq \frac{1}{4}\geq a_n\left( 1-a_n \right)\Rightarrow a_{n+1}\geq a_n; \forall n\in N*$
Vậy: $\left( a_n \right)$ tăng.
Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng khi n=k$\in N*$, nghĩa là: $a_k>\frac{1}{2}-\frac{1}{2k};k\in N*$
Ta cần chứng minh $\left( 1 \right)$đúng khi $n=k+1$, nghĩa là chứng minh: $a_{k+1}>\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left( k+1 \right)};k\in N*$
Ta có: $a_k>\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}$
$\Rightarrow -a_k<-\frac{1}{2}+\frac{1}{2k}\Rightarrow 1-a_k<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2k} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2k} = \frac{k+1}{2k}\Rightarrow \frac{1}{1-a_k}>\frac{2k}{k+1}$
Theo giả thiết: $a_{k+1}\left( 1-a_k \right)\geq \frac{1}{4}$
$\Rightarrow a_{k+1}\geq \frac{1}{4\left( 1-a_k \right)}>\frac{2k}{4\left( k+1 \right)} = \frac{\left( 2k+2 \right)-2}{4\left( k+1 \right)} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2\left( k+1 \right)}:\left( 1 \right)$ đúng khi $n=k+1$
Vậy: $a_n>\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}, \forall n\in N*.$
b). Ta có: $a_n^{2}-a_n+\frac{1}{4} = \left( a_n-\frac{1}{2} \right)^{2}\geq 0\Rightarrow a_n\left( a_n-1 \right)+\frac{1}{4}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{4}\geq a_n\left( 1-a_n \right)$
Từ giả thiết suy ra: $a_{n+1}\left( 1-a_n \right)\geq \frac{1}{4}\geq a_n\left( 1-a_n \right)\Rightarrow a_{n+1}\geq a_n; \forall n\in N*$
Vậy: $\left( a_n \right)$ tăng.