Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 19
Cho dãy số $\left( u_n \right)$ xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 5 \\ u_{n+1} = u_n+3n-2. \end{array} \right.$
a). Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b). Chứng minh dãy số tăng.
a). Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b). Chứng minh dãy số tăng.
Xem lời giải
Lời giải
a)Ta có:$u_{n+1} = u_n+3n-2\Rightarrow u_{n+1}-u_n = 3n-2.$ Từ đó suy ra:
$u_1 = 5.$
$u_2-u_1 = 3.1-2.$
$u_3-u_2 = 3.2-2.$
$u_4-u_3 = 3.3-2.$
$\ldots\ldots\ldots$
$u_{n-1}-u_{n-2} = 3\left( n-2 \right)-2.$
$u_n-u_{n-1} = 3\left( n-1 \right)-2.$
Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được:
$u_n = 5+3\left[ 1+2+3+\ldots+\left( n-1 \right) \right]-2\left( n-1 \right).$
$\Leftrightarrow u_n = 5+\frac{3\left( n-1 \right).n}{2}-2\left( n-1 \right) = 5+\frac{3\left( n-1 \right).n-4\left( n-1 \right)}{2}$
$\Leftrightarrow u_n = 5+\frac{\left( n-1 \right)\left( 3n-4 \right)}{2}$
Vậy: $u_n = 5+\frac{\left( n-1 \right)\left( 3n-4 \right)}{2}.$
b) Ta có: $u_{n+1}-u_n = 3n-2>0 \forall n\geq 1.$
$\Rightarrow u_{n+1}>u_n \forall n\geq 1.$ Kết luận dãy số $\left( u_n \right)$ là một dãy số tăng.
$u_1 = 5.$
$u_2-u_1 = 3.1-2.$
$u_3-u_2 = 3.2-2.$
$u_4-u_3 = 3.3-2.$
$\ldots\ldots\ldots$
$u_{n-1}-u_{n-2} = 3\left( n-2 \right)-2.$
$u_n-u_{n-1} = 3\left( n-1 \right)-2.$
Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được:
$u_n = 5+3\left[ 1+2+3+\ldots+\left( n-1 \right) \right]-2\left( n-1 \right).$
$\Leftrightarrow u_n = 5+\frac{3\left( n-1 \right).n}{2}-2\left( n-1 \right) = 5+\frac{3\left( n-1 \right).n-4\left( n-1 \right)}{2}$
$\Leftrightarrow u_n = 5+\frac{\left( n-1 \right)\left( 3n-4 \right)}{2}$
Vậy: $u_n = 5+\frac{\left( n-1 \right)\left( 3n-4 \right)}{2}.$
b) Ta có: $u_{n+1}-u_n = 3n-2>0 \forall n\geq 1.$
$\Rightarrow u_{n+1}>u_n \forall n\geq 1.$ Kết luận dãy số $\left( u_n \right)$ là một dãy số tăng.