Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 18
Xét tính tăng giảm của các dãy số $\left( u_n \right)$ được cho bởi hệ thức truy hồi sau:
a).$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \sqrt{2u_n+3}, \forall n\in N^{*} \end{array} \right.$
b).$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{2u_n}{3+u_n} \end{array} \right.$
a).$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \sqrt{2u_n+3}, \forall n\in N^{*} \end{array} \right.$
b).$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{2u_n}{3+u_n} \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
a).$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \sqrt{2u_n+3}, \forall n\in N^{*} \end{array} \right.$
Vì $u_2 = \sqrt{2u_1+3} = \sqrt{7}>u_1,$ ta dự đoán $u_{n+1}>u_n\left( * \right)$ với mọi $n\geq 1.$
Ta có$\left( * \right)$ đúng với $n=1.$
Giả sử ta có: $u_k>u_{k-1}.$ Khi đó ta có:
$u_{k+1} = \sqrt{2u_k+3}>\sqrt{2u_{k-1}+3} = u_k$ ( do $u_k>u_{k-1}$)
Suy ra $\left( * \right)$ đúng với mọi $n\in N^{*}$, suy ra $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
b).$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{2u_n}{3+u_n} \end{array} \right.$
Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy $u_n>0$ với mọi $n\in N^{*}$
Ta có: $u_2 = \frac{2u_1}{3+u_1} = \frac{6}{6} = 1<u_1.$
Ta dự đoán $u_{n+1}<u_n\left( ** \right)$ với mọi $n\in N^{*}$.
Ta có $\left( ** \right)$ đúng khi $n=1.$ Giả sử có $u_k<u_{k-1}$
Khi đó $u_{k+1} = \frac{2u_k}{3+u_k} = \frac{2u_k+6-6}{3+u_k} = 2-\frac{6}{u_k+3}.$
Vì $u_k<u_{k-1}$ nên $\frac{6}{u_k+3}>\frac{6}{u_{k-1}+3}\Rightarrow u_{k+1}<2-\frac{6}{u_{k-1}+3} = u_k.$
Suy ra $\left( ** \right)$ đúng với mọi $n\in N^{*}$. Vậy $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
Vì $u_2 = \sqrt{2u_1+3} = \sqrt{7}>u_1,$ ta dự đoán $u_{n+1}>u_n\left( * \right)$ với mọi $n\geq 1.$
Ta có$\left( * \right)$ đúng với $n=1.$
Giả sử ta có: $u_k>u_{k-1}.$ Khi đó ta có:
$u_{k+1} = \sqrt{2u_k+3}>\sqrt{2u_{k-1}+3} = u_k$ ( do $u_k>u_{k-1}$)
Suy ra $\left( * \right)$ đúng với mọi $n\in N^{*}$, suy ra $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
b).$\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{2u_n}{3+u_n} \end{array} \right.$
Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy $u_n>0$ với mọi $n\in N^{*}$
Ta có: $u_2 = \frac{2u_1}{3+u_1} = \frac{6}{6} = 1<u_1.$
Ta dự đoán $u_{n+1}<u_n\left( ** \right)$ với mọi $n\in N^{*}$.
Ta có $\left( ** \right)$ đúng khi $n=1.$ Giả sử có $u_k<u_{k-1}$
Khi đó $u_{k+1} = \frac{2u_k}{3+u_k} = \frac{2u_k+6-6}{3+u_k} = 2-\frac{6}{u_k+3}.$
Vì $u_k<u_{k-1}$ nên $\frac{6}{u_k+3}>\frac{6}{u_{k-1}+3}\Rightarrow u_{k+1}<2-\frac{6}{u_{k-1}+3} = u_k.$
Suy ra $\left( ** \right)$ đúng với mọi $n\in N^{*}$. Vậy $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.