Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 17
Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
1). Dãy số$\left( u_n \right)$ với $u_n = 2n^{3}-5n+1$
2). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = 3^{n}-n.$
3). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{n}{n^{2}+1}$.
4). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$
5). Dãy số $\left( u_n \right)$với $u_n = \frac{3^{n}}{n^{2}}$
6). Dãy số $\left( u_n \right)$: Với $u_n = \frac{3n^{2}-2n+1}{n+1}$
7). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}$
8). Dãy số $\left( u_n \right)$ với$u_n = n-\sqrt{n^{2}-1}$
9). Dãy số $\left( u_n \right)$ với$u_n = \frac{\sqrt{n+1}-1}{n}$
1). Dãy số$\left( u_n \right)$ với $u_n = 2n^{3}-5n+1$
2). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = 3^{n}-n.$
3). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{n}{n^{2}+1}$.
4). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$
5). Dãy số $\left( u_n \right)$với $u_n = \frac{3^{n}}{n^{2}}$
6). Dãy số $\left( u_n \right)$: Với $u_n = \frac{3n^{2}-2n+1}{n+1}$
7). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}$
8). Dãy số $\left( u_n \right)$ với$u_n = n-\sqrt{n^{2}-1}$
9). Dãy số $\left( u_n \right)$ với$u_n = \frac{\sqrt{n+1}-1}{n}$
Xem lời giải
Lời giải
1). Dãy số$\left( u_n \right)$ với $u_n = 2n^{3}-5n+1$
Với mỗi $n\in N^{*}$, ta có: $u_{n+1}-u_n = \left[ 2\left( n+1 \right)^{3}-5\left( n+1 \right)+1 \right]-\left( 2n^{3}-5n+1 \right)$
$= 2n^{3}+6n^{2}+6n+2-5n-5+1-2n^{3}+5n-1$
$= 6n^{2}+6n-3 = 6n^{2}+3n+\left( 3n-3 \right)>0$ ( đúng) do $n\geq 1.$
Vì thế dãy số $\left( u_n \right)$là một dãy số tăng.
2). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = 3^{n}-n.$
Với mỗi $n\in N^{*}$, ta có: $u_{n+1}-u_n = \left[ 3^{n+1}-\left( n+1 \right) \right]-\left( 3^{n}-n \right).$
$= 3.3^{n}-n-1-3^{n}+n$
$= 2.3^{n}+3^{n}-3^{n}-1 = 2.3^{n}-1>0$ (đúng) (vì $n\geq 1.$)
Kết luận dãy số $\left( u_n \right)$ là một dãy số tăng.
3). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{n}{n^{2}+1}$.
Với mỗi $n\in N^{*}$, ta có:
$u_{n+1}-u_n = \frac{n+1}{\left( n+1 \right)^{2}+1}-\frac{n}{n^{2}+1} = \frac{\left( n+1 \right)\left( n^{2}+1 \right)-n\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]}{\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]\left( n^{2}+1 \right)}$
$= \frac{n^{3}+n+n^{2}+1-\left( n^{3}+2n^{2}+2n \right)}{\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]\left( n^{2}+1 \right)}$ $= \frac{-n^{2}-n+1}{\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]\left( n^{2}+1 \right)}<0.$
Vì $-n^{2}-n+1<0 \forall n\geq 1$, và$\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]\left( n^{2}+1 \right)>0 \forall n\geq 1.$
Kết luận: dãy số $\left( u_n \right)$ là một dãy số giảm.
4). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$
Dễ thấy $u_n>0 \forall n\in N^{*}$. Xét tỉ số:$\frac{u_n}{u_{n+1}}$
Ta có:$\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}.\frac{2^{n+1}}{\sqrt{n+1}} = \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1 \left( \forall n\geq 1 \right)$
Thật vậy:$\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1\Leftrightarrow \frac{4n}{n+1}>1\Leftrightarrow 4n>n+1\Leftrightarrow 3n>1$ ( đúng$\forall n\geq 1$)
Kết luận: $\left( u_n \right)$ là một dãy số giảm.
5). Dãy số $\left( u_n \right)$với $u_n = \frac{3^{n}}{n^{2}}$
Dễ thấy $u_n>0 \forall n\in N^{*}$. Xét tỉ số: $\frac{u_n}{u_{n+1}}$
$\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{3^{n}}{n^{2}}.\frac{\left( n+1 \right)^{2}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}.\left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}$
Nếu $\frac{1}{3}\left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}>1\Leftrightarrow \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}>3$
$\Leftrightarrow \frac{n+1}{n}>\sqrt{3}\Leftrightarrow n+1>\sqrt{3}.n\Leftrightarrow \sqrt{3}.n-n<1$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}-1 \right)n<1\Leftrightarrow n<\frac{1}{\sqrt{3}-1}\Rightarrow n=1$
Nếu $\frac{1}{3}\left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}<1\Leftrightarrow \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}<3\Leftrightarrow \frac{n+1}{n}<\sqrt{3}\Leftrightarrow n+1<\sqrt{3}.n\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}-1 \right)n>1$
$\Leftrightarrow n>\frac{1}{\sqrt{3}-1}\Leftrightarrow n>2.$
6). Dãy số $\left( u_n \right)$: Với $u_n = \frac{3n^{2}-2n+1}{n+1}$
Ta có: $u_n = 3n-5+\frac{6}{n+1}$
Với mọi $n\in N^{*}$ ta có:
$u_{n+1}-u_n = \left[ 3\left( n+1 \right)-5+\frac{6}{n+2} \right]-\left( 3n-5+\frac{6}{n+1} \right)$ $= 3+\frac{6}{n+2}-\frac{6}{n+1}$
$= 3\left[ \frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)+2\left( n+1 \right)-2\left( n+2 \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)} \right]$ $= \frac{3\left( n^{2}+3n \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}>0. \forall n\geq 1.$
Kết luận $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
7). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1} = \frac{1}{2}+\frac{n+\frac{3}{2}}{2n^{2}+1}$
Với mọi $n\in N^{*}$, xét hiệu số:
$u_{n+1}-u_n = \frac{1}{2}+\frac{n+1+\frac{3}{2}}{2\left( n+1 \right)^{2}+1}-\left( \frac{1}{2}+\frac{n+\frac{3}{2}}{2n^{2}+1} \right)$ $= \frac{n+\frac{5}{2}}{2n^{2}+2n+3}-\frac{n+\frac{3}{2}}{2n^{2}+1}$
$= \frac{\left( n+\frac{5}{2} \right)\left( 2n^{2}+1 \right)-\left( n+\frac{3}{2} \right)\left( 2n^{2}+2n+3 \right)}{\left( 2n^{2}+2n+3 \right)\left( 2n^{2}+1 \right)}$ $= \frac{-5n-2}{\left( 2n^{2}+2n+3 \right)\left( 2n^{2}+1 \right)}<0 \forall n\geq 1.$
Vậy dãy số $\left( u_n \right)$là dãy số giảm.
8). Dãy số $\left( u_n \right)$ với$u_n = n-\sqrt{n^{2}-1}$
Ta có: $u_n = n-\sqrt{n^{2}-1} = \frac{n^{2}-\left( n^{2}-1 \right)}{n+\sqrt{n^{2}-1}} = \frac{1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}$
Dễ dàng ta có: $\left( n+1 \right)+\sqrt{\left( n+1 \right)^{2}-1}>n+\sqrt{n^{2}-1}$
$\Rightarrow \frac{1}{\left( n+1 \right)+\sqrt{\left( n+1 \right)^{2}-1}}<\frac{1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}\Leftrightarrow u_{n+1}<u_n$
Từ đó suy ra dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
9). Dãy số $\left( u_n \right)$ với$u_n = \frac{\sqrt{n+1}-1}{n}$
Ta có: $u_n = \frac{\left( n+1 \right)-1}{n\left( \sqrt{n+1}+1 \right)} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+1}$
Dễ dàng ta có: $\sqrt{\left( n+1 \right)+1}+1>\sqrt{n+1}+1$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\left( n+1 \right)+1}+1}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}$ $\Leftrightarrow u_{n+1}<u_n.$ Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
Với mỗi $n\in N^{*}$, ta có: $u_{n+1}-u_n = \left[ 2\left( n+1 \right)^{3}-5\left( n+1 \right)+1 \right]-\left( 2n^{3}-5n+1 \right)$
$= 2n^{3}+6n^{2}+6n+2-5n-5+1-2n^{3}+5n-1$
$= 6n^{2}+6n-3 = 6n^{2}+3n+\left( 3n-3 \right)>0$ ( đúng) do $n\geq 1.$
Vì thế dãy số $\left( u_n \right)$là một dãy số tăng.
2). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = 3^{n}-n.$
Với mỗi $n\in N^{*}$, ta có: $u_{n+1}-u_n = \left[ 3^{n+1}-\left( n+1 \right) \right]-\left( 3^{n}-n \right).$
$= 3.3^{n}-n-1-3^{n}+n$
$= 2.3^{n}+3^{n}-3^{n}-1 = 2.3^{n}-1>0$ (đúng) (vì $n\geq 1.$)
Kết luận dãy số $\left( u_n \right)$ là một dãy số tăng.
3). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{n}{n^{2}+1}$.
Với mỗi $n\in N^{*}$, ta có:
$u_{n+1}-u_n = \frac{n+1}{\left( n+1 \right)^{2}+1}-\frac{n}{n^{2}+1} = \frac{\left( n+1 \right)\left( n^{2}+1 \right)-n\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]}{\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]\left( n^{2}+1 \right)}$
$= \frac{n^{3}+n+n^{2}+1-\left( n^{3}+2n^{2}+2n \right)}{\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]\left( n^{2}+1 \right)}$ $= \frac{-n^{2}-n+1}{\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]\left( n^{2}+1 \right)}<0.$
Vì $-n^{2}-n+1<0 \forall n\geq 1$, và$\left[ \left( n+1 \right)^{2}+1 \right]\left( n^{2}+1 \right)>0 \forall n\geq 1.$
Kết luận: dãy số $\left( u_n \right)$ là một dãy số giảm.
4). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$
Dễ thấy $u_n>0 \forall n\in N^{*}$. Xét tỉ số:$\frac{u_n}{u_{n+1}}$
Ta có:$\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}.\frac{2^{n+1}}{\sqrt{n+1}} = \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1 \left( \forall n\geq 1 \right)$
Thật vậy:$\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1\Leftrightarrow \frac{4n}{n+1}>1\Leftrightarrow 4n>n+1\Leftrightarrow 3n>1$ ( đúng$\forall n\geq 1$)
Kết luận: $\left( u_n \right)$ là một dãy số giảm.
5). Dãy số $\left( u_n \right)$với $u_n = \frac{3^{n}}{n^{2}}$
Dễ thấy $u_n>0 \forall n\in N^{*}$. Xét tỉ số: $\frac{u_n}{u_{n+1}}$
$\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{3^{n}}{n^{2}}.\frac{\left( n+1 \right)^{2}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}.\left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}$
Nếu $\frac{1}{3}\left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}>1\Leftrightarrow \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}>3$
$\Leftrightarrow \frac{n+1}{n}>\sqrt{3}\Leftrightarrow n+1>\sqrt{3}.n\Leftrightarrow \sqrt{3}.n-n<1$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}-1 \right)n<1\Leftrightarrow n<\frac{1}{\sqrt{3}-1}\Rightarrow n=1$
Nếu $\frac{1}{3}\left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}<1\Leftrightarrow \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2}<3\Leftrightarrow \frac{n+1}{n}<\sqrt{3}\Leftrightarrow n+1<\sqrt{3}.n\Leftrightarrow \left( \sqrt{3}-1 \right)n>1$
$\Leftrightarrow n>\frac{1}{\sqrt{3}-1}\Leftrightarrow n>2.$
6). Dãy số $\left( u_n \right)$: Với $u_n = \frac{3n^{2}-2n+1}{n+1}$
Ta có: $u_n = 3n-5+\frac{6}{n+1}$
Với mọi $n\in N^{*}$ ta có:
$u_{n+1}-u_n = \left[ 3\left( n+1 \right)-5+\frac{6}{n+2} \right]-\left( 3n-5+\frac{6}{n+1} \right)$ $= 3+\frac{6}{n+2}-\frac{6}{n+1}$
$= 3\left[ \frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)+2\left( n+1 \right)-2\left( n+2 \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)} \right]$ $= \frac{3\left( n^{2}+3n \right)}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}>0. \forall n\geq 1.$
Kết luận $\left( u_n \right)$ là dãy số tăng.
7). Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n = \frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1} = \frac{1}{2}+\frac{n+\frac{3}{2}}{2n^{2}+1}$
Với mọi $n\in N^{*}$, xét hiệu số:
$u_{n+1}-u_n = \frac{1}{2}+\frac{n+1+\frac{3}{2}}{2\left( n+1 \right)^{2}+1}-\left( \frac{1}{2}+\frac{n+\frac{3}{2}}{2n^{2}+1} \right)$ $= \frac{n+\frac{5}{2}}{2n^{2}+2n+3}-\frac{n+\frac{3}{2}}{2n^{2}+1}$
$= \frac{\left( n+\frac{5}{2} \right)\left( 2n^{2}+1 \right)-\left( n+\frac{3}{2} \right)\left( 2n^{2}+2n+3 \right)}{\left( 2n^{2}+2n+3 \right)\left( 2n^{2}+1 \right)}$ $= \frac{-5n-2}{\left( 2n^{2}+2n+3 \right)\left( 2n^{2}+1 \right)}<0 \forall n\geq 1.$
Vậy dãy số $\left( u_n \right)$là dãy số giảm.
8). Dãy số $\left( u_n \right)$ với$u_n = n-\sqrt{n^{2}-1}$
Ta có: $u_n = n-\sqrt{n^{2}-1} = \frac{n^{2}-\left( n^{2}-1 \right)}{n+\sqrt{n^{2}-1}} = \frac{1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}$
Dễ dàng ta có: $\left( n+1 \right)+\sqrt{\left( n+1 \right)^{2}-1}>n+\sqrt{n^{2}-1}$
$\Rightarrow \frac{1}{\left( n+1 \right)+\sqrt{\left( n+1 \right)^{2}-1}}<\frac{1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}\Leftrightarrow u_{n+1}<u_n$
Từ đó suy ra dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.
9). Dãy số $\left( u_n \right)$ với$u_n = \frac{\sqrt{n+1}-1}{n}$
Ta có: $u_n = \frac{\left( n+1 \right)-1}{n\left( \sqrt{n+1}+1 \right)} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+1}$
Dễ dàng ta có: $\sqrt{\left( n+1 \right)+1}+1>\sqrt{n+1}+1$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\left( n+1 \right)+1}+1}<\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}$ $\Leftrightarrow u_{n+1}<u_n.$ Vậy dãy số $\left( u_n \right)$ là dãy số giảm.