Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 16
Cho hai dãy số $(u_n),(v_n)$ được xác định như sau $u_1=3,v_1=2$ và $\left\{ \begin{array}{l} u_{n+1}=u_n^{2}+2v_n^{2} \\ v_{n+1}=2u_n.v_n \end{array} \right.$ với $n\geq 2$.
1. Chứng minh: $u_n^{2}-2v_n^{2}=1$ và $u_n-\sqrt{2}v_n=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}}$ với $\forall n\geq 1$;
2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy $(u_n)$ và $(v_n)$.
1. Chứng minh: $u_n^{2}-2v_n^{2}=1$ và $u_n-\sqrt{2}v_n=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}}$ với $\forall n\geq 1$;
2. Tìm công thức tổng quát của hai dãy $(u_n)$ và $(v_n)$.
Xem lời giải
Lời giải
1. Ta chứng minh bài toán theo quy nạp
a) Chứng minh: $u_n^{2}-2v_n^{2}=1$ (1)
$\bullet$ Ta có $u_1^{2}-2v_1^{2}=3^{2}-2.2^{2}=1$ nên (1) đúng với $n=1$
$\bullet$ Giả sử $u_k^{2}-2v_k^{2}=1$, khi đó ta có:
$u_{k+1}^{2}-2v_{k+1}^{2}=\left( u_k^{2}+2v_k^{2} \right)^{2}-2\left( 2u_kv_k \right)^{2}=\left( u_k^{2}-2v_k^{2} \right)^{2}=1$
Từ đó suy ra (1) đúng với $\forall n\geq 1$.
b) Chứng minh $u_n-\sqrt{2}v_n=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}}$ (2)
Ta có: $u_n-\sqrt{2}v_n=u_{n-1}^{2}+2v_{n-1}^{2}-2\sqrt{2}u_{n-1}v_{n-1}=\left( u_{n-1}-\sqrt{2}v_{n-1} \right)^{2}$
$\bullet$ Ta có: $u_1-\sqrt{2}v_1=3-2\sqrt{2}=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2}$ nên (2) đúng với $n=1$
$\bullet$ Giả sử $u_k-\sqrt{2}v_k=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{k}}$, ta có:
$u_{k+1}-\sqrt{2}v_{k+1}=\left( u_k-\sqrt{2}v_k \right)^{2}=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{k+1}}$
Vậy (2) đúng với $\forall n\geq 1$.
2. Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: $u_n+\sqrt{2}v_n=\left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}$
Do đó ta suy ra $\left\{ \begin{array}{l} 2u_n=\left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}+\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}} \\ 2\sqrt{2}v_n=\left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}-\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}} \end{array} \right.$
Hay $\left\{ \begin{array}{l} u_n=\frac{1}{2}\left[ \left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}+\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}} \right] \\ v_n=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[ \left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}-\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}} \right] \end{array} \right.$.
a) Chứng minh: $u_n^{2}-2v_n^{2}=1$ (1)
$\bullet$ Ta có $u_1^{2}-2v_1^{2}=3^{2}-2.2^{2}=1$ nên (1) đúng với $n=1$
$\bullet$ Giả sử $u_k^{2}-2v_k^{2}=1$, khi đó ta có:
$u_{k+1}^{2}-2v_{k+1}^{2}=\left( u_k^{2}+2v_k^{2} \right)^{2}-2\left( 2u_kv_k \right)^{2}=\left( u_k^{2}-2v_k^{2} \right)^{2}=1$
Từ đó suy ra (1) đúng với $\forall n\geq 1$.
b) Chứng minh $u_n-\sqrt{2}v_n=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}}$ (2)
Ta có: $u_n-\sqrt{2}v_n=u_{n-1}^{2}+2v_{n-1}^{2}-2\sqrt{2}u_{n-1}v_{n-1}=\left( u_{n-1}-\sqrt{2}v_{n-1} \right)^{2}$
$\bullet$ Ta có: $u_1-\sqrt{2}v_1=3-2\sqrt{2}=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2}$ nên (2) đúng với $n=1$
$\bullet$ Giả sử $u_k-\sqrt{2}v_k=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{k}}$, ta có:
$u_{k+1}-\sqrt{2}v_{k+1}=\left( u_k-\sqrt{2}v_k \right)^{2}=\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{k+1}}$
Vậy (2) đúng với $\forall n\geq 1$.
2. Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: $u_n+\sqrt{2}v_n=\left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}$
Do đó ta suy ra $\left\{ \begin{array}{l} 2u_n=\left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}+\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}} \\ 2\sqrt{2}v_n=\left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}-\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}} \end{array} \right.$
Hay $\left\{ \begin{array}{l} u_n=\frac{1}{2}\left[ \left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}+\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}} \right] \\ v_n=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[ \left( \sqrt{2}+1 \right)^{2^{n}}-\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2^{n}} \right] \end{array} \right.$.