Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 15
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ u_n=2u_{n-1}+3\ \forall n\geq 2 \end{array} \right.$.
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Chứng minh rằng $u_n=2^{n+1}-3$;
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Chứng minh rằng $u_n=2^{n+1}-3$;
Xem lời giải
Lời giải
1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
$u_1=1;$ $u_2=2u_1+3=5$; $u_3=2u_2+3=13;\ u_4=2u_3+3=29$
$u_5=2u_4+3=61$.
2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
* Với $n=1\Rightarrow u_1=2^{1+1}-3=1\Rightarrow$ bài toán đúng với $N=1$
* Giả sử $u_k=2^{k+1}-3$, ta chứng minh $u_{k+1}=2^{k+2}-3$
Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:
$u_{k+1}=2u_k+3=2(2^{k+1}-3)+3=2^{k+2}-3$ đpcm.
$u_1=1;$ $u_2=2u_1+3=5$; $u_3=2u_2+3=13;\ u_4=2u_3+3=29$
$u_5=2u_4+3=61$.
2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
* Với $n=1\Rightarrow u_1=2^{1+1}-3=1\Rightarrow$ bài toán đúng với $N=1$
* Giả sử $u_k=2^{k+1}-3$, ta chứng minh $u_{k+1}=2^{k+2}-3$
Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:
$u_{k+1}=2u_k+3=2(2^{k+1}-3)+3=2^{k+2}-3$ đpcm.