Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 14
Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo n của các dãy số sau :
a). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n} \end{array} \right.\ ,\ \forall n\in \mathbb{N}^{*}$
b). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=-1 \\ u_{n+1}=u_n+3 \end{array} \right.$ với $n\geq 1,n\in \mathbb{N}$
a). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n} \end{array} \right.\ ,\ \forall n\in \mathbb{N}^{*}$
b). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=-1 \\ u_{n+1}=u_n+3 \end{array} \right.$ với $n\geq 1,n\in \mathbb{N}$
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có:
$u_2=\frac{u_1}{1+u_1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$ $u_3=\frac{u_2}{1+u_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.$
$u_4=\frac{u_3}{1+u_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}.$ $u_5=\frac{u_4}{1+u_4}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{5}.$
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng: $u_n=\frac{1}{n},\forall n\geq 1.\left( * \right)$
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức $\left( * \right)$
Đã có: $\left( * \right)$ đúng với $n=1$
Giả sử $\left( * \right)$ đúng khi $n=k.$ Nghĩa là ta có: $u_k=\frac{1}{k}$
Ta chứng minh $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1.$ Nghĩa là ta phải chứng minh: $u_{k+1}=\frac{1}{k+1}.$
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:
$u_{k+1}=\frac{u_k}{1+u_k}=\frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}}=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}=\frac{1}{k+1}.$
Kết luận: $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1$, suy ra $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.
b). Ta có :
$u_2=u_1+3=2=3.2-4$
$u_3=u_2+3=5=3.3-4$
$u_4=u_3+3=8=3.4-4$
$u_5=u_4+3=11=3.5-4$
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng: $u_n=3n-4,\forall n\geq 1.\left( * \right)$
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức $\left( * \right)$
Đã có: $\left( * \right)$ đúng với $n=1$
Giả sử $\left( * \right)$ đúng khi $n=k.$ Nghĩa là ta có: $u_k=3k-4$
Ta chứng minh $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1.$ Nghĩa là ta phải chứng minh: $u_{k+1}=3(k+1)-4$
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:
$u_{k+1}=u_k+3=3k-4+3=3(k+1)-4$
Kết luận: $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1$, suy ra $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.
$u_2=\frac{u_1}{1+u_1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$ $u_3=\frac{u_2}{1+u_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.$
$u_4=\frac{u_3}{1+u_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}.$ $u_5=\frac{u_4}{1+u_4}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{5}.$
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng: $u_n=\frac{1}{n},\forall n\geq 1.\left( * \right)$
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức $\left( * \right)$
Đã có: $\left( * \right)$ đúng với $n=1$
Giả sử $\left( * \right)$ đúng khi $n=k.$ Nghĩa là ta có: $u_k=\frac{1}{k}$
Ta chứng minh $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1.$ Nghĩa là ta phải chứng minh: $u_{k+1}=\frac{1}{k+1}.$
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:
$u_{k+1}=\frac{u_k}{1+u_k}=\frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}}=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}=\frac{1}{k+1}.$
Kết luận: $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1$, suy ra $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.
b). Ta có :
$u_2=u_1+3=2=3.2-4$
$u_3=u_2+3=5=3.3-4$
$u_4=u_3+3=8=3.4-4$
$u_5=u_4+3=11=3.5-4$
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng: $u_n=3n-4,\forall n\geq 1.\left( * \right)$
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức $\left( * \right)$
Đã có: $\left( * \right)$ đúng với $n=1$
Giả sử $\left( * \right)$ đúng khi $n=k.$ Nghĩa là ta có: $u_k=3k-4$
Ta chứng minh $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1.$ Nghĩa là ta phải chứng minh: $u_{k+1}=3(k+1)-4$
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:
$u_{k+1}=u_k+3=3k-4+3=3(k+1)-4$
Kết luận: $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1$, suy ra $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.