Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 13
Cho dãy số $\left( u_n \right)$, biết $u_1=3,u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^{2}}$ với $n\geq 1,n\in \mathbb{N}$
a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có:
$u_2=\sqrt{1+u_1^{2}}=\sqrt{10}$
$u_3=\sqrt{1+u_2^{2}}=\sqrt{11}$
$u_4=\sqrt{1+u_3^{2}}=\sqrt{12}$
$u_5=\sqrt{1+u_4^{2}}=\sqrt{13}$
b). Ta có: $u_1=\sqrt{1+8},u_2=\sqrt{2+8},u_3=\sqrt{3+8},u_4=\sqrt{4+8},u_5=\sqrt{5+8}$.
Ta dự đoán $u_n=\sqrt{n+8}\ \left( 1 \right)$
Với $n=1,$ có: $u_1=\sqrt{1+8}=3$ (đúng). Vậy (1) đúng với $n=1$
Giả sử (1) đúng với $n=k$, có nghĩa ta có: $u_k=\sqrt{k+8}\ \left( 2 \right)$
Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1.$ Có nghĩa là ta phải chứng minh:
$u_{k+1}=\sqrt{k+9}$
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo $\left( 2 \right)$ ta có:
$u_{k+1}=\sqrt{1+u_k^{2}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}=\sqrt{k+9}$
Vậy (1) đúng với $n=k+1.$ Kết luận $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.
$u_2=\sqrt{1+u_1^{2}}=\sqrt{10}$
$u_3=\sqrt{1+u_2^{2}}=\sqrt{11}$
$u_4=\sqrt{1+u_3^{2}}=\sqrt{12}$
$u_5=\sqrt{1+u_4^{2}}=\sqrt{13}$
b). Ta có: $u_1=\sqrt{1+8},u_2=\sqrt{2+8},u_3=\sqrt{3+8},u_4=\sqrt{4+8},u_5=\sqrt{5+8}$.
Ta dự đoán $u_n=\sqrt{n+8}\ \left( 1 \right)$
Với $n=1,$ có: $u_1=\sqrt{1+8}=3$ (đúng). Vậy (1) đúng với $n=1$
Giả sử (1) đúng với $n=k$, có nghĩa ta có: $u_k=\sqrt{k+8}\ \left( 2 \right)$
Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1.$ Có nghĩa là ta phải chứng minh:
$u_{k+1}=\sqrt{k+9}$
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo $\left( 2 \right)$ ta có:
$u_{k+1}=\sqrt{1+u_k^{2}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}=\sqrt{k+9}$
Vậy (1) đúng với $n=k+1.$ Kết luận $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.