Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 12
Cho dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_1=1$ và $u_{n+1}=3u_n+10$ với mọi $n\geq 1.$
Chứng minh rằng: $u_n=2.3^{n}-5\ \forall n\geq 1.$
Chứng minh rằng: $u_n=2.3^{n}-5\ \forall n\geq 1.$
Xem lời giải
Lời giải
Ta sẽ chứng minh $u_n=2.3^{n}-5\ \left( 1 \right)$ bằng phương pháp quy nạp.
Với $n=1$, ta có: $u_1=2.3^{1}-5=1$ (đúng). Vậy $\left( 1 \right)$ đúng với $n=1.$
Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k\left( k\in N^{*} \right)$. Có nghĩa là ta có: $u_k=2.3^{k}-5\ \left( 2 \right)$
Ta phải chứng minh $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k+1.$ Có nghĩa ta phải chứng minh:
$u_{k+1}=2.3^{k+1}-5.$
Từ hệ thức xác định dãy số $\left( u_n \right)$ và từ (2) ta có:
$u_{k+1}=3u_k+10=3.\left( 2.3^{k}-5 \right)+10=2.3^{k}.3-15+10=2.3^{k+1}-5$ (đpcm).
Với $n=1$, ta có: $u_1=2.3^{1}-5=1$ (đúng). Vậy $\left( 1 \right)$ đúng với $n=1.$
Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k\left( k\in N^{*} \right)$. Có nghĩa là ta có: $u_k=2.3^{k}-5\ \left( 2 \right)$
Ta phải chứng minh $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k+1.$ Có nghĩa ta phải chứng minh:
$u_{k+1}=2.3^{k+1}-5.$
Từ hệ thức xác định dãy số $\left( u_n \right)$ và từ (2) ta có:
$u_{k+1}=3u_k+10=3.\left( 2.3^{k}-5 \right)+10=2.3^{k}.3-15+10=2.3^{k+1}-5$ (đpcm).