Bài tự luận · Bài 23
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 23
(CTST11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) $SB$ và $AD$;
b) $BD$ và $SC$.
a) $SB$ và $AD$;
b) $BD$ và $SC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $SAB$.
Ta có: $AD\perp AB$ và $AD\perp SA$
$\Rightarrow AD\perp(SAB)\Rightarrow AD\perp AH$.
Do đó $AH$ là đoạn vuông góc chung của $SB$ và $AD$ nên $d(SB,AD)=AH$.
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$ nên $SB=a\sqrt{2}$.
$AH$ là đường cao của tam giác $SAB$ nên $AH=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy $d(AD,SB)=AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
b) Ta có: $BD\perp AC$ và $BD\perp SA\Rightarrow BD\perp(SAC)$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông cân $ABCD$.
Trong mặt phẳng $(SAC)$, kẻ $OK\perp SC,K\in SC$.
Ta có: $OK\perp SC$ và $OK\perp BD$ (do $BD\perp(SAC)$) nên $OK$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$.
Suy ra $d(BD,SC)=OK=\frac{1}{2}AI$ (với $I$ là hình chiếu của $A$ trên $SC$).
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AC=a\sqrt{2}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có
$\frac{1}{AI^{2}}=\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{2a^{2}}=\frac{3}{2a^{2}}\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $d(BD,SC)=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.