Bài tự luận · Bài 22
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 22
(KNTT11) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $AB=AC=AA'=a$. Tính theo $a$ khoảng cách:
a) Từ điểm $A$ đến đường thẳng $B'C'$.
b) Giữa hai đường thẳng $BC$ và $AB'$.
a) Từ điểm $A$ đến đường thẳng $B'C'$.
b) Giữa hai đường thẳng $BC$ và $AB'$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Kẻ $AH$ vuông góc với $B'C'$ tại $H$ thì $d\left( A,B'C' \right)=AH$.
Ta có: $AB'=AC'=B'C'=a\sqrt{2}$ nên $AH=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Vậy $d\left( A,B'C' \right)=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
b) Vì $BC\parallel\left( AB'C' \right)$ nên $d\left( BC,AB' \right)=d\left( BC,\left( AB'C' \right) \right)=d\left( C,\left( AB'C' \right) \right)$. Mà $CA'$ cắt $AC'$ tại trung điểm của $CA'$ nên $d\left( C,\left( AB'C' \right) \right)=d\left( A',\left( AB'C' \right) \right)$.
Đặt $d\left( A',\left( AB'C' \right) \right)=h$ thì $\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{A'A^{2}}+\frac{1}{A'B'^{2}}+\frac{1}{A'C'^{2}}=\frac{3}{a^{2}}$, suy ra $h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vậy $d\left( BC,AB' \right)=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.