Bài tự luận · Bài 21
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 21
(KNTT11) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a,AD=a\sqrt{2},AA'=a\sqrt{3}$. Tính theo $a$ khoảng cách:
a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( BDD'B' \right)$.
b) Giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD'$.
a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( BDD'B' \right)$.
b) Giữa hai đường thẳng $BD$ và $CD'$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Kẻ $AH$ vuông góc với $BD$ tại $H$.
Khi đó $AH\perp\left( BB'D'D \right)$, suy ra $d\left( A,\left( BB'D'D \right) \right)=AH=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
b) Ta có: $CD'\parallel\left( A'BD \right)$ nên $d\left( CD',BD \right)=d\left( CD',\left( A'BD \right) \right)=d\left( C,\left( A'BD \right) \right)$.
Vì $AC$ cắt $BD$ tại trung điểm của $AC$ nên $d\left( C,\left( A'BD \right) \right)=d\left( A,\left( A'BD \right) \right)$.
Kẻ $AK$ vuông góc với $A'H$ tại $K$. Khi đó $AK\perp\left( A'BD \right)$, suy ra
$d\left( A,\left( A'BD \right) \right)=AK=\frac{AH\cdot AA'}{A'H}=\frac{a\sqrt{66}}{11}$. Vậy $d\left( CD',BD \right)=\frac{a\sqrt{66}}{11}$.