Bài tự luận · Bài 20
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 20
(KNTT11) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $ABC$ bằng $60^{\circ}$, biết tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính theo $a$ khoảng cách:
a) Từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.
b) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.
c) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
a) Từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.
b) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.
c) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Kẻ $SH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ thì $SH\perp(ABC)$, suy ra $d(S,(ABC))=SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
b) Kẻ $HK$ vuông góc với $AC$ tại $K,HQ$ vuông góc với $SK$ tại $Q$ thì $d(H,(SAC))=HQ$.
Ta có: $AB=\frac{a}{2},HK=\frac{a}{4}$ và tam giác $SHK$ vuông tại $H$, đường cao $HQ$ nên $HQ=\frac{SH\cdot HK}{SK}=\frac{a\sqrt{39}}{26}$.
Lại có $H$ là trung điểm của $BC$ nên $d(B,(SAC))=2d(H,(SAC))=\frac{a\sqrt{39}}{13}$.
c) Dựng hình bình hành $ABMC$, chứng minh được $ABMC$ là hình chữ nhật. Khi đó $AB\parallel(SCM)$ và mặt phẳng $(SMC)$ chứa $SC$ nên $d(AB,SC)=d(AB,(SCM))=d(B,(SCM))=2d(H,(SCM))$.
Kẻ $HN$ vuông góc với $CM$ tại $N$, $HE$ vuông góc với $SN$ tại $E$ thì $HE\perp(SCM)$, suy ra $d(H,(SCM))=HE$. Ta có: $HN=\frac{BM}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$, tam giác $SHN$ vuông tại $H$, đường cao $HE$ nên $HE=\frac{SH\cdot HN}{SN}=\frac{a\sqrt{15}}{10}$. Vậy $d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.